22.3 实际问题与二次函数-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）

22.3 实际问题与二次函数 【知识梳理】 知识点一 利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 知识点二 利用二次函数求图形面积的最值 二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． 知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 知识点四 应用二次函数解决实际问题的基本思路 ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系； ④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性． 【题型探究】 题型一、增长率问题 1．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________． 题型二、销售问题 4．某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶元，当销售单价定为元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）． （1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 _____； （2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 _____． 5．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件． (1)将售价定为多少元的时候，使每天利润为700元吗？ (2)当售价定为元时，这天所获利润为，请写出与的关系式； (3)根据（2）问中的关系式，这天所获利润能达到750元吗？请说明理由． 6．某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式； (2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？ (3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？ 题型三、拱桥问题 7．小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的．如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为，如果AB＝8 m，AD＝2 m，则隧道顶端点N到地面AB的距离为（    ） A．8 m B．7 m C．6 m D．5 m 8．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______． 9．如图是一座抛物线形拱桥，上面有一点P的坐标为，当水位线在位置时，A到B的水面宽，求此时水位线离桥顶的高度h． 题型四、投球问题 10．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知他距篮筐中心的水平距离为，则篮筐的中心离地面的高度是_____________m． 11．某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是米，如果运动员在距篮下距离为米起跳，求的值． 12．在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线（不计空气阻力）实心球飞行高度y（）与水平距离x（）之间的关系如图所示，其中抛物线的最高点坐标为，请根据图象解答下列问题： (1)小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为___； (2)求出实心球飞行高度y（）与水平距离x（）之间函数解析式； (3)求出当时，相应的x，并说说明它们的实际意义． 题型五、喷水问题 13．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距