专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题 10种常见考法归类 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式. 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ 注：不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 3．空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 4．空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 5．空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？ 注：垂直． 6． 对直线方向向量的三点说明 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． (3)非零性：直线的方向向量是非零向量． 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量． 7．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 注：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标． 8．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ 注：不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可． 9．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ 注：根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了． 10．求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 11．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这