专题02一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理：2个知识点4种题型2种中考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题02一定是直角三角形吗（2个知识点4种题型2种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：直角三角形的判定（重点） 知识点2：勾股数（重点） 【方法二】 实例探索法 题型1：判断一个三角形是否为直角三角形 题型2：勾股定理的逆定理的实际应用 题型3：勾股定理及其逆定理的综合运用 题型4：先构造直角三角形，再利用勾股定理及其逆定理 【方法三】 仿真实战法 考法1：勾股定理逆定理 考法2：勾股数 【方法四】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：直角三角形的判定（重点） （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点2：勾股数（重点） 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【例1】（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52 【变式1】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值． 【变式2】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数． 【变式3】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c．根据你发现的规律，回答下列问题： （1）a＝17时，求b、c的值； （2）a＝2n+1时，求b、c的值． 【方法二】实例探索法 题型1：判断一个三角形是否为直角三角形 1.如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是　 　． 2.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 题型2：勾股定理的逆定理的实际应用 3．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处． （1）你能说说其中的道理吗？ （2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．） 4．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？ 5.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 题型3：勾股定理及其逆定理的综合运用 6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积． 7．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12， （1）求证：CD⊥AB； （2）求三角形ABC的周长． 8．如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4． （1）∠ADC是直角吗？请说明理由． （2）求DF的长． 9.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数． 10.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B