极值点偏移问题专题2023届高三数学二轮复习

攻破极值点偏移问题 典例 已知函数f（x）=x+，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞2. 先通过图像来看一下 正解：f’（x）=1，令f’（x）=0，x=1；f’（x）＞0，x＞1；f’（x）＜0，0＜x＜1 因此=f（1） 不妨设＞0，要证＞2，只需证＞2＞1 即证f（）＞f（2） 又f（）=f（） 因此只需证f（）＞f（2） （第一步，把其中一个点偏移到另一边，使得两点处的单调性相同，并将x之间的比较利用单调性转化为f（x）之间的比较） 令F（x）=f（x）-f（2）=x+2+x-=2x+2，x∈（0,1） F’（x）=2，令F’（x）=0，x=1；F’（x）＞0，x＞1；F’（x）＜0，0＜x＜1 因此=F（1）=0，即F（x）=f（x）-f（2）＞0在x∈（0,1）上恒成立 （第二步，根据上一步得出的两个函数构造新函数，通过新函数的正负来判定原来两个函数的大小关系，类似作差法比较大小） 所以f（）＞f（2）得证 即＞2得证 （第三部，下结论，一步步往回推） 极值点偏移问题的实质即为在一个不对称的图像中，先把极值点a所在的直线x=a看做“对称轴”，取函数值相同的两个点，找出其中一个点的“对称点”（即典例中的2），处的函数值并不等于处的函数值，即极值点发生了偏移。 [注：该类题虽然可以用求二阶导或者琴生不等式直接“秒杀”，但是如果作为解答题出现，上面才是完整的步骤，否则会被扣分的！] 小试牛刀 1.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞. 2.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞2. 3.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞e. 4.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞2. 5.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞e. 6.已知函数f（x）=，若存在∈，使得f（）=f（），求证：＞0. 进阶练习 1.已知f（x）=x - 的定义域为（0，+∞） （1）若已知f（x）在定义域内只有一个极大值，求该点横坐标的范围（要求区间长度小于1） （2）若g（x）=x-f（x），且有两个实数（）满足g（）=g（），求证：＞2. 2.已知f（x）=-，其中∈R. (1)若=3，100∈Z，且f（x）在上单调，求取值范围 (2)若=1，=2，且存在（），使得f（）=f（）,求证：＜. 真题练习 （2021新高考Ⅰ卷22题）已知函数 f(x)=x(1-lnx) (1)讨论 f(x)的单调性 (2)设a,b为两个不相等的正数,且b-a=a-b证明:2<<e 答案：（2） 即，即f（）=f（） 令p=，q= 不妨设0＜p＜1＜q，下面证明2＜p+q＜e ①先证p+q>2，当pz2时结论显然成立 当q∈(1,2)时，p+q>2,，则p>2-q，所以2-q<1.只需设f(p) > f(2-q) 即证当q∈(1,2)时，由f(p)>f(2-q) 令g(x)=f(x)-f(2-x). g’(x)=f'(x)+f’(2-x)=--=-In[-(x-1)2+1] 当x∈(1,2)时，-(x-1)2+1<1，所以g'(x)>0. g(x)在(1,2)上单调递增 g(q)> g(1)=0，即f(q)> f(2-q) ②再设p+q < e, 当x∈(0,e)时,f(x)> 0,当x∈(e,+∞)时,f(x)<0 所以q＜e 因为0＜p＜1 所以e-p＞e-1＞1 要证q < e-p只需证f(q)> f(e -p) 即证当p∈(0,1)时，有f(p) > f(e -p) 设h(x) = f(x) - f(e- x)，x∈ (0,1) h'(x)= f'(x)+ f'(e- x) = - - = - 设ex -x2 = 1小于1的根为x0 ,则h(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,1)单调递减 因此h(x) > h(1) = f(1)- f(e -1)> 0 证毕 $$