3.2.1 双曲线及其标准方程 学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点) 2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点、难点) 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．(易错点) 【知识探究】 学习目标一 双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 思考交流：在双曲线的定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 学习目标二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1 －＝1 焦点 a，b，c的关系 c2＝ 思考交流：方程Ax²+By²=1表示双曲线的充要条件是什么? 例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(一5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 学习目标三 双曲线标准方程的应用 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.. 巩固练习 1 判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) （1） 平面内到两个定点的距离的差等于常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线. （ ） (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离的差等于5的点的轨迹是双曲线. （ ） (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离的差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（ ） (4)双曲线中a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c 之间的关系相同. （ ） 2 .已知点F1(5,0),F2(-5,0)，曲线C上的点P到点F1，F2的距离的差的绝对值等于8， 则曲线C的方程为（ ） A. －＝1 B. －＝1. D. 3 已知圆C:(x+3)²+y²=4及点A(3,0), Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为 3.2.1【参考答案】 【知识探究】 学习目标一 等于非零常数(小于| FF₂|) 焦点 焦距 【思考交流】 提示当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2;当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 学习目标二 a>0,b>0 a>0,b>0 (-c，0),(c,0) (0,-c),(0,c) a2＋b2 【思考交流】 提示若A>0,B<0,则表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax²+By²=1表示双曲线的充要条件是 AB<0. 【自我评价】 1. (1)×(2) ×(3) ×(4)× 2. B 解析：根据双曲线的定义,可知点P的轨迹是以F1(5.0)，F2(-5.0)为焦点的双曲线， 可知c=5,a=4,故b2=c²-a²=9.所以曲线的方程为 －＝1. 解析：由AQ的垂直平分线交直线CQ 于点M，得|MA|=|MQ|.因为圆的半径为2， 所以||MC|-|MA||=2<|AC|=6.所以点M的轨迹是以点C，A为焦点的双曲线. 所以由题意得2a=2，2c=6.所以a=1 c=3, b2=c²-a²=8由A(3,0)可知焦点在x轴上，所以点M的轨迹方程为 公司 第1页（共4页） $$