角平分线的性质与判定及综合运用 2023-2024学年人教版八年级上册数学

角平分线的性质与判定及综合运用 板块一 角平分线的性质与判定 典例精讲 题型一 角平分线性质 【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,BD=CD.求证:BE=CF. 【例2】如图,△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 延长线上的点,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.求证:CP 平分∠BCE. 题型二角平分线判定 【例3】如图,在△ABC 中,∠A=60°,BP,BE 把∠ABC 三等分,CP,CE 把∠ACB 三等分.求∠BPE 的度数. 题型三 隐藏角平分线 【例4】如图,在四边形 ABDC 中,对角线 AD 平分∠BAC,∠ACD=138°,∠BCD=42°.求∠ADB 的度数. 实战演练 1.如图,在四边形 ABCD中,∠B=∠C=90°,点 E 为BC 中点,且AE 平分∠BAD. (1)求证:DE 平分∠ADC; (2)求证:AE⊥DE; (3)求证:AD=AB+CD. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点,且∠1=∠2,AM⊥BD 于点M. (1)求证:AD平分△BDC 的外角; (2)求证:BD-CD=2DM. 3.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC. 4.如图,在△ABC 中,点 D 是 BC上一点,已知∠DAC=30°,∠DAB=75°,CE 平分∠ACB 交AB 于点 E,连接 DE.求∠DEC 的度数. 板块二 角平分线问题的处理方法 方法技巧 典例精讲 题型一 作垂直 【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证 题型二 作对称 【例2】如图,四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB,BC=CD.求证:∠ADC+∠B=180°. 题型三 作延长 【例3】如图,在△ABC 中,AB<BC,BP 平分∠ABC,AP⊥BP 于点 P,连接 PC,若△ABC 的面积为 4,求△BPC 的面积. 题型四 作平行 【例4】如图,△ABC 中,∠BAC=2∠ABC,I 为△ABC 的三条角平分线的交点.求证:BC=AI+AC. 实战演练 1.在△ABC 中,AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=3,CD=5,求 AC 的长. 2.如图,在△ABC 中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长 BD 至点 E,使 DE=AD,连接 EC.求证:BC=AB+CE. 3.如图,D为△ABC外一点,DA=DB,过点 D作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E,∠DAC=∠DBE. (1)求证:CD 平分∠ACE; (2)若 EC=1,BC=4,求 AC 的长. 4.如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,D为边 AB 上一点,DE⊥AE 于点E,AC 与DE 交于点 F,∠ADE=22.5°,AE=3,求△ADF 的面积. $$