2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握平面内点到直线的距离公式及其推导过程。 2. 会用距离公式解决相关几何问题，体会坐标法求解几何问题的重要性。 3.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 两点的位置关系 两点间的距离: ||= 点与直线的位置关系 点到直线的距离 问题1：如图，已知点，直线： A≠0,B ≠ 0)，如何求点到直线的距离？ 二、新课讲授 1、点到直线的距离公式 分析：过点P做PQ⊥ 垂足为Q，求出垂线段PQ. • • 两点间距离公式→求出垂线段PQ Q点坐标 直线和PQ的交点→ 直线和PQ的交点 求出PQ的直线方程→ 求出PQ的直线方程 求出PQ的斜率→ 垂线斜率→垂线方程→Q点坐标→|PQ|长度 4 • • 解：过点P作PQ⊥ ，垂足为Q， |PQ|的长度即为点P到直线的距离. 直线的斜率为-，故直线PQ的斜率为， 则直线PQ的方程为， 整理得 ， 解方程组 解得 所以点Q的坐标为(,). 由两点间距离公式，可得： 则||= = = = 所以点P到直线的距离为： = 追问1：如果直线改为： A=0)平行于x轴，点到直线的距离还满足吗？ • • 解：由A=0可得， . 所以点P到直线的距离为： = ()丨 整理得 = 因为A=0，所以 = 追问2：如果直线改为： B=0)垂直于x轴，点到直线的距离还满足吗？ • • 解：由B=0可得， . 所以点P到直线的距离为： = ()丨 整理得 = 因为A=0，所以 = 一般地，点到直线： 的距离为： = 追问3：上述推导过程中的运算叫繁琐，是否有更简洁的运算方法？ 我们不妨设Q(x,y),则||= 几何意义：这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根 我们不妨设Q(x,y),则||= 分析：我们将)、)看作一个整体，分别求出即可. 由方程组 变形为 解得 则||= 设而不求 整体代换 追问4：还有更简单的方法？ 用向量 • • 分析：1、点到直线的距离=点到直线上任意一点距离最短的那一条； 2、 关系： 在直线PQ上的投影向量 • 设是直线PQ的单位方向向量，则 丨丨=丨• 丨 已知，设M(x,y)满足的直线方程，则 =(, ) 直线：0的一个方向向量为(1, ) 与直线垂直的一个方向向量可表示为：(1, ) 则，其中丨丨=， 所以=， 由丨丨=丨• 丨, 可得丨丨=丨 丨 =丨 丨 = 小结：上述三种推导方法的特点 点到直线距离公式 坐标法 （求垂足坐标） 坐标法 （设而不求、整体代换） 向量法 寻找所求量的坐标表示 代数方法 向量的坐标表示 几何特征 点的坐标刻画图形间关系 三、巩固新知 例5 求点P(-1,2)到直线：32的距离. 解：设点P到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得 = = 例6 已知△ABC的三个顶点分别为A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积. 解：如图，设边AB上的高为， 即为点C到直线AB的距离，则 丨AB丨. 丨AB丨==2 直线AB的方程为， 即. 点C(-1,0)到直线AB: 的距离为 = = ， 所以×=5. 四、课堂小结 点到直线的距离公式： = 五、作业布置 课本P77：练习 第1、3题 $$