第二章 直线与圆的方程 复习讲义-2024届高三数学一轮复习

第二章 直线与圆的方程复习讲义（1） 题型一　直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率的关系： (1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 例1　1.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 2.（2019·浙江省高二期中）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π) B． C． D． 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π) 解析　如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角． 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 又当0≤k≤1时，0≤α≤； 当－1≤k<0时，≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)． (1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　) A. B．－ C．－ D. (2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 答案　(1)B　(2)B 解析　(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)， 则有，解得a＝－5，b＝－3， 从而可知直线l的斜率为＝－. (2)由xcos α＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤. 设直线的倾斜角为θ，则－≤tan θ≤. 结合正切函数在∪上的图象可知， 0≤θ≤或≤θ<π. 题型二　求直线的方程 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 例2　1.根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)， 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±. 故所求直线方程为y＝±(x＋4)． 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1， 又直线过点(－3,4)， 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点线距离公式，得＝5，解得k＝. 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 2.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R) (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分] 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分] ∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.[6分] (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴或∴a≤－1.[10分] 综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分] 温馨提醒　(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解． (2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用. 跟踪训练2 1．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　) A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝