平面向量、复数、函数等解答题-2022-2023学年广东省高一下学期数学期末试题汇编

2022~2023学年广东省高一下学期数学期末试题汇编：平面向量、复数、函数等解答题（原卷版） 1. （2023年广东省东莞市）如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 2. （2023年广东省茂名市信宜市）已知不共线的两个平面向量，满足，. （1）若与的夹角，求的值； （2）若，求实数的值. 3.（2023年广东省茂名市信宜市）解决下列问题： （1）已知复数，若是实数，求的值； （2）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值. 4. （2023年广东省肇庆市）设复数，，若. （1）求； （2）记为的共轭复数，计算的值. 5. （2023年广东省深圳市）已知函数（且）在上的最大值为. （1）求的值； （2）当时，，求实数的取值范围. 6. （2023年广东省深圳市）已知函数，，与的图象恰有三个交点. （1）求实数的取值范围； （2）用表示中的最大值，设函数，用M，m分别表示的最大值与最小值，求M，m，并求出的取值范围. 7. （2023年广东省惠州市）已知函数，，如果对于定义域D内任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 1 $$2022~2023学年广东省高一下学期数学期末试题汇编：平面向量、复数、函数等解答题（解析版） 1. （2023年广东省东莞市）如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点， （1）用，表示，； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）将，作为基底，利用向量的加减法法则结合点是的中点，点是的三等分点可表示出，； （2）先计算可得，然后分别求出，从而可求出的面积． 【小问1详解】 因为是的三等分点， 所以 因为是的中点， 所以； 【小问2详解】 ， 因为为矩形，所以， 又，， 所以，即， ， 同理可得， 所以，，即三角形的面积为． 2. （2023年广东省茂名市信宜市）已知不共线的两个平面向量，满足，. （1）若与的夹角，求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量模的运算及数量积的运算律求解即可； （2）利用向量垂直的运算及向量模的公式列式计算即可. 【小问1详解】 由题意，，， 所以 ，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 即,因为，，所以，解得 3.（2023年广东省茂名市信宜市）解决下列问题： （1）已知复数，若是实数，求的值； （2）先求，，，，，，，的值，归纳规律后，请你直接写出的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由虚部为0可得答案； （2）经计算，可得规律，后利用可得答案. 【小问1详解】 ∵为实数，∴，解得或； 【小问2详解】 ，，，，，，，. 则可注意到规律：从第一项起，每连续的四项之和为0，而，前2024项之和为0. 则. 4. （2023年广东省肇庆市）设复数，，若. （1）求； （2）记为的共轭复数，计算的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算以及复数的分类可得，进而由模长公式即可求解， （2）根据复数的加减法以及乘方运算即可化简求解. 【小问1详解】 ， 则，则，所以，则. 【小问2详解】 ，则， 5. （2023年广东省深圳市）已知函数（且）在上的最大值为. （1）求的值； （2）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； 【小问2详解】 由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 6. （2023年广东省深圳市）已知函数，，与的图象恰有三个交点. （1）求实数的取值范围； （2）用表示中的最大值，设函数，用M，m分别表示的最大值与最小值，求M，m，并求出的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将写成分段函数的性质，并得到是两函数的一个交点，