椭圆与圆的伸缩变换 教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆与圆的伸缩变换 1、 教材内容分析 解析几何是数学发展过程中的标志性成果。教材《第三章 圆锥曲线的方程》在“直线与圆的方程”基础上，帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆的几何特征，建立它的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。 圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略。 2、 学习者特征分析 学生已经在高二时完成高中解析几何内容的学习，目前处于高三复习备考阶段。解析几何的学习对运算能力的要求颇高。对于学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一，解题过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败。但必要的运算是不可避免的，这是由解析几何的学科特点决定的。关键是要学生正确理解解析几何中运算的特点：建立在几何背景下的代数运算。 3、 教学目标 1. 思政育人目标：学生在遇到困难时，要积极主动从旧经验中寻找新方法，不畏困难； 2. 知识技能目标：学生在解决椭圆相关应用场景中，能利用图形的几何特征，将椭圆问题与圆的问题进行相互转化； 3. 核心素养目标：学生在本节课的学习中，提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。 4. 能力发展目标：学生在解决问题的过程中，进一步提升数形结合与转化的数学思想和能力。 4、 教学重点和难点 1. 教学重点：椭圆与圆的伸缩变换 2. 教学难点：应用伸缩变换解决椭圆相关问题 5、 教学方法与学法指导 引导启发式、参与发现式 6、 教学资源 普通高中教科书《数学 选择性必修 第一册》、PPT演示文稿、几何画板和学案 7、 教学过程 环节一 发现痛点 问题1：椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动 教师分析学生的解答情况，引出解决圆锥曲线问题的痛点：计算难度较大，斜率之积是定值不容易被直观发现。 学生活动 学生分享这道题的解答过程 媒体&信息技术应用 PPT展示学生答题情况 变式：圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动 教师展示变式题和图形，引导学生发现圆的直观性质。 教师引导学生思考：能否将椭圆的问题转化为圆的问题解决呢？ 学生活动 借助圆的直观性质，学生可以直观地获得直线、斜率之积是-1，由此可以降低计算难度，求得直线斜率的范围。 媒体&信息技术应用 PPT展示变式题和图形 设计意图：通过暴露解析几何问题解决的难点和痛点，对比圆相关问题的直观性质，学生对转化成圆的问题来解决产生了兴趣。 环节二 温故知新 回顾《高中数学 选择性必修第一册》第三章3.1.1 例2 教师活动 教师引导学生回顾《选择性必修第一册》第三章3.1.1 例2，椭圆概念的另一种形成过程（由圆伸缩变换而来）和伸缩变换的解答过程。 学生活动 借助几何画板，学生从直观上发现，圆通过椭圆的伸缩变换而来是可行的。 媒体&信息技术应用 PPT展示例2； 几何画板演示椭圆与圆之间的变换 设计意图：学生回顾了椭圆由圆的伸缩变换而形成的过程，为后续椭圆伸缩变换成圆做好知识和方法的铺垫。 问题1：椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动 借助几何画板的动画，教师引导学生发现椭圆如何横向的伸缩变换得到椭圆，在此过程中直线、变换成为圆上的弦，由过原点的弦变换为圆的直径。 教师引导学生分步骤进行思考：如何将椭圆问题变换为圆的问题，再由圆的问题转化为椭圆？ 学生活动 学生发现可以利用圆直径所对的圆周角是直角这一直观性质来解决问题。 学生将以上步骤推广到一般情况，并获得在解决椭圆过原点的弦时可以应用此方法。 媒体&信息技术应用 PPT展示问题1； 几何画板演示椭圆转换为圆的过程 设计意图：学生经历了利用伸缩变换将椭圆问题转化为圆的问题，再转化为椭圆问题的全过程，并由此收获由特殊到一般的方法，提升学生解决问题的能力。 环节三 灵活应用 问题2：椭圆，斜率为的直线与椭圆交于、两点，平行四边形（为坐标原点）的对角线的斜率为，则椭圆的离心率为 教师活动 教师演示几何动画，引导学生发现直观性质。 教师进行方法小结：此方法可以应用于将椭圆的中点弦问题转化为圆的垂径定理。 学生活动 学生