专题3.7 整式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.7 整式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】整式 1.单项式：像都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也单项式。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 一个式子是多项式需要具备两个条件： （1） 式子中含有运算符号“＋”或“－”； （2） 分母中不含有字母。 3.整式 单项式和多项式统称整式。 特别说明： ①单项式是整式； ②多项式是整式； ③多项式是由单项式组成的，但不能说明多项式包括单项式，它们是不同的概念； ④如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一定不是整式。 【知识点2】单项式的系数和次数 (1)系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； (2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 特别说明： ①单项式的系数包括它包括它前面的符号，且只与数字因素有关，而单项式的次数只与字母的指数有关； ②确定一个单项式的次数时，没有写指数的字母，实际上指数是“1”，计算是不能将其遗漏；不要把系数的指数当成字母的指数一同计算。 【知识点3】多项式的项和次数 （1）多项式的项：在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项,一个多项式含有几项,就叫几项式. （2）多项式的次数：一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数 特别说明：单项式与多项式的次数确定方法不一样，二者不能混淆。 【考点一】单项式、多项式、整式的理解与认识 【例1】在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点拨】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 【变式1】把下列各式的序号填入相应集合的括号内； ① ；② ；③ 0；④；⑤ ；⑥ ；⑦ 单项式集合：{                                         …}； 多项式集合：{                                         …}． 【答案】单项式集合：{③，⑤，…}；多项式集合{①，④，⑦…} 【分析】单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；再逐一判断即可； 解：单项式集合：{③，⑤，……}； 多项式集合：{①，④，⑦，……}； 【点拨】本题主要考查了单项式和多项式的判定，掌握单项式与多项式的定义并准确分析判断是解题的关键． 【变式2】把下列各式填在相应的集合里： ，，0，，，， （1）单项式集合： （2）多项式集合： （3）整式集合： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】根据整式的分类，多项式和单项式的定义填写即可． 解：（1）单项式集合： （2）多项式集合： （3）整式集合： 【点拨】本题考查了判断单项式，多项式和整式，理解定义是解题的关键．数字与字母的积的代数式叫做单项式．单独一个数或一个字母也叫单项式． 多项式，若干个单项式的和组成的式叫做多项式，整式为单项式和多项式的统称． 【考点二】单项式的系数和次数 【例2】已知单项式与的次数相同． (1) 求的值； (2) 求当，时单项式的值． 【答案】(1) 2； (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点拨】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得 的值是关键． 【变式1】已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式的系数，求的值． 【答案】 【分析】根据x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式的系数，分别求出，，，代入求值即可． 解：∵x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式的系数， ∴，，， ∴． 【点拨】此题考查了代数式的求值，熟练掌握相反数、倒数、单项式的系数等概念是解题的关键． 【变式2】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，． 【答案】见分析 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数． 解：以上代数式是单项式的有：，，，，，． 的系数为，次数为3； 的系数为，次数为1； ，系数为，次数为7； ，系数为