湖南省长沙市湖南师大第二附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

湖南师大二附中2022-2023学年第二学期高一期中考试试题卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：赵永恒 审题人： 第I卷（选择题） 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 2．复数则在复平面内，对应的点的坐标是（      ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，则“”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，则直线和夹角的余弦值为（      ） A． B． C． D． 7．在中，若，则该三角形是（      ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 8．已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（      ） A．6π B．12π C．18π D．24π 二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列叙述中错误的是（      ） A．若，则 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 10．对于中，有如下判断，其中正确的判断是（      ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 11．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（      ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 12．已知定义在上的连续函数同时满足以下三个条件：①，，②，当时，都有，③，则下列选项成立的有（      ） A． B．，，使得 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．函数的定义域为___________. 14．若，，且，共线，则________. 15．对于锐角，若，则______． 16．中，，，则______． 四、解答题（本大题共6个小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； (2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． 18．已知，，. (1)求的值； (2)求与的夹角. 19．如图，已知三棱锥，平面，，，，M、N分别是PB、AB的中点． (1)求证：//平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且， (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值. 21．如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． (1)证明：平面； (2)求到平面的距离． 22．已知. （1）指出函数的定义域，并求，，，的值； （2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想； （3）解不等式：. 数学答案 1．D 【详解】 因为，，∴. 2．C 【详解】因为，所以在复平面内，对应的点的坐标是. 故选：C 3．C 【详解】 因为为非零向量，所以.故选：C. 4．C 【详解】 ，，即所以故选：C 5．A 【详解】 在上递增，，，所以的零点在区间.故选：A 6．C 【详解】 如图所示，在正方体，连接，可得， 则异面直线和所成的角，即为直线和所成的角， 即异面直线和所成的角， 在中，可得，所以，则. 故选：C. 7．C 【详解】 中，， ，，．所以，，三角形是等腰三角形．故选：C． 8．B 【详解】 解：正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2， 设外接球的半径为r，则，解得，故球的直径为. 球的表面积为.故选：B. 9．ABC 【详解】 解：对于A：向量不可以比较大小，故A错误； 对于B：设与的夹角为，则，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：当时，满足，，但是与不一定共线，故C错误； 对于D：对任一非零向量，是一个与同向的单位向量，故D正确； 10．ABD 【详解】 对于A中