2.3.2两点间距离公式课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程。 2. 会用距离公式解决相关几何问题，体会坐标法求解几何问题的重要性。 3.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 距离是欧式几何中最基本的度量，而两点间距离又是所有距离当中最简单、最基本的。今天我们一起来学习——两点间距离公式。 直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数 相交 平行 重合 有且只有一个 唯一解 0个 无解 无数个 无数组解 两条直线的交点坐标 问题1：如图，已知平面内点 ，如何求间的距离| |？ 二、新课讲授 1、两点间的距离公式 • • 分析：向量的模长 =（– ） ||= 已知平面内点 ，则两点间的距离公式是： ||= 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离是： ||= 除了向量的方法，还有其他方法推出这个距离公式吗？ 构造直角三角形，利用勾股定理 追问1：能否 构造直角三角形，求得线段的长度？ • • A 点 ||= ||= ||= 追问2：若直线平行或垂直于x轴，那么线段的长度该如何表示？ ||=， 或||= 同样满足两点间距离公式 追问3：能否用文字语言来表达两点间距离公式？ ||= 平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根. 三、巩固新知 例3 已知点A(-1,2),B(2)，在x轴上求一点P，使得||= |B|，并求出||的值. 解法一：设所求点P(x,0). 则||== |B|== 由||= |B|，得= ， 解得x=1， 所以，P(1,0) 则||== 设 列 解 8 A B • P 分析：点P在线段AB的垂直平分线（中垂线）上 • C 解法二：点C的坐标为(,), . AB中垂线的斜率为： = () AB中垂线的方程为： ， 因为P在x轴上，所以令y=0， 解得x=1 所以，P(1,0)， 则||== 数 形 数 例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 分析：坐标法：把图形放入适当的平面直角坐标系当中，用坐标来表示有关的量，通过运算得出结果，再将结果翻译成集合结论. 证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在平行四边形ABCD中，点A的坐标为(0,0),设点B坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b,c). 10 由两点间距离公式，可得： 则||²=, ||²=, ||²=, ||²= , 所以||²+ ||² =2, |B|²+ |A|² =, 所以||²+ ||² =2 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 该结论也被称为：广义勾股定理 追问1：还有其他的建系方法吗？ 证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. O 在平行四边形ABCD中，点O的坐标为(0,0),设点A坐标为(a,0)，点B的坐标为(b,0)，点D的坐标为(0,d)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(b-a,d). O 由两点间距离公式，可得： 则||²=, ||²=, ||²=, ||²= , 所以||²+ ||² =4 -4 +2 |B|²+ |A|² =2 所以||²+ ||² =2 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 除了坐标法，还有我们之前学习的向量法证明. 小结：坐标法的解题步骤 建立适当的坐标系，用坐标表示相关的量 进行有关代数运算 将运算结果“翻译”成几何结论 四、课堂小结 两点间距离公式： ||= 平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根. • • A 五、作业布置 课本P72：练习 第1、3题 15 $$