立体几何 专题讲义-2023届江苏省南京田家炳高级中学高三数学一轮复习

2023江苏省南京田家炳高级中学普高数学复习学案立体几何 1.体积与面积 【例1】（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0 km2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5米时，增加的水量约为（ ）（） （A） （B） （C） （D） 【例2】如图是一个棱长为2的正方体被过棱，的中点M，N，顶点A和过点N，顶点D，的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【例3】如图，某多面体是由两个直三棱柱重叠后而成，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该多面体的体积为（ ） （A）23 （B）24 （C）26 （D）27 2.规则几何体的计算 【例题】（2023·红河州一模·★★★）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ） （A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3 3.立体几何常见方法 1．斜二测画法 ①在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面； ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段； ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半； ④斜二测直观图与原图的面积关系：，其中S和分别为原图和直观图的面积. 2．最短路径问题：空间中的最短路径问题，一般将几何体展开为平面，到平面上分析最短路径. 3．等体积法 ①当直接计算某三棱锥体积不方便时，可考虑转换顶点来算体积. ②在求点到平面的距离时，也可用等体积法. 例如，要求点A到平面BCD的距离d，若能求得，以及转换顶点后的三棱锥的体积，则可由解出d. 4．扩大截面：常用平行线法和延长线法来寻找多面体的完整截面. 【例题】（2022·上海模拟·★★★）正方体的棱长为4，E，F分别为BC，的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为_____. 4.外接球问题 【通法例题】（2023·贵阳模拟·★★★）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，是边长为6的等边三角形，，则该几何体的外接球表面积为_____. 5.大题位置关系的证明 【例1】（2022·延边一模·★★）在四棱锥中，平面ABCD，AB∥CD，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且，证明：DE∥平面PBC. 【例2】（2022·哈尔滨模拟·★★）如图，在四棱锥中，底面ABCD，AB∥DC，，，，E为PC上一点，，证明：PA∥平面BDE. 【逆推例题】（2020·新课标Ⅰ卷·★★）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，证明：平面PAB⊥平面PAC. 2023江苏省南京田家炳高级中学普高数学复习学案立体几何参考答案 1.体积与面积 【例1】答案：C 解析：算棱台的体积，代公式即可，先找到S和，以及棱台的高h， 如图，该棱台的两个底面面积分别为，，高， 所以棱台的体积 . 【例2】答案：C 解析：所给几何体由正方体截得，故先画出完整的正方体，再看怎样算体积， 如图，截去的部分是三棱锥和，正方体的体积， ，， 故所求几何体的体积为. 【例3】答案：D 解析：多面体可看成由五部分组成，正四棱锥，四个全等的三棱锥，，，，先算正四棱锥的体积，求底面积要用BC，可在中用余弦定理来求， ， 再算高，注意到FH∥平面ABCD，所以I到平面ABCD的距离等于H到平面ABCD的距离， 如图，取BC中点K，连接HK，则，又为直三棱柱，所以平面BHC， 故，所以平面ABCD，， 即正四棱锥的高为，所以； 再求三棱锥的体积，这部分天然就有平面CDG， ， 所以整个几何体的体积. 2.规则几何体的计算 答案：B 解析：可以想象拼接后的容器是正四棱台，上、下底面边长分别为2和6，斜高为4，如图1，正四棱台如图2， 要求体积，还需算高OG，已知斜高，故在截面OGIE中分析，其中I，G分别为所在棱中点， 作于T，则，，， 在中，，所以， 故正四棱台的体积. 3. 立体几何常见方法 答案：18 解析：观察发现A和EF分别在左、右两个面内，过A易作EF的平行线，故用平行线法即可画出截面， 如图1，连接，连接，则∥∥EF，