2.3一元二次方程根的判别式课件2023-2024学年 湘教版数学九年级上册

2.2 一元二次方程根的辨别式 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点） 2.3 一元二次方程的辨别式 议 一 议 一、一元二次方程根的判别式 我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)时，总是要求b2 - 4ac ≥ 0.这是为什么？ 将方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)配方后得到 2.3 一元二次方程的辨别式 由于a ≠ 0，所以 4a2 > 0，因此我们不难发现： 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. 2.3 一元二次方程的辨别式 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. 2.3 一元二次方程的辨别式 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根. 因此，若方程要有实数根，则b2 - 4ac 必须为非负数． 我们把 b2 - 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2 - 4ac. 2.3 一元二次方程的辨别式 综上可知，我们不难发现一元二次方ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根的情况可由Δ = b2 - 4ac 来判断： 当Δ > 0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ = 0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ < 0时，原方程没有实数根． 要点归纳 2.3 一元二次方程的辨别式 按要求完成下列表格： 练一练 Δ 的值 根的情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 2.3 一元二次方程的辨别式 8 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定a，b，c的值. 根的判别式使用方法 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 要点归纳 2.3 一元二次方程的辨别式 9 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： 应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况 二、根的判别式的应用 (1) 3x2 + 4x - 3 = 0； (2) 4x2 = 12x - 9； (3) 7y = 5(y + 1). 解：(1)因为 Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-3) = 16 + 36 = 52 > 0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2) 将原方程化为一般形式，得 4x2 - 12x + 9 = 0. 因为Δ = b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 =144 – 144 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根. 2.3 一元二次方程的辨别式 (3) 7y = 5(y + 1). (3) 将原方程化为一般形式，得 5y2 - 7y + 5 = 0. 因为 Δ = b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = 49 – 100 = -51 < 0， 所以，原方程没有实数根. 2.3 一元二次方程的辨别式 练习 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x -1 = 0.∵b2 - 4ac = 1 - 4×1×(-1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 2.3 一元二次方程的辨别式 12 应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x – 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k > -1 B. k > -1 且 k ≠ 0 C. k < 1 D. k < 1 且 k ≠ 0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2 - 4ac > 0，同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2 - 4k > 0 ，k ≠ 0