3.1.2椭圆的几何性质第2课时学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 学案（第2课时） 【学习目标】 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．（重点、难点） 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 【自主学习】 学习目标一 椭圆方程的应用 例5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭 圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过 对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的 光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2. 已知BC工 F1F2,|F₁Bl=28cm,|F₁F₂l=4.5cm 试建立适当的平面 直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0. 1cm). 学习目标二 椭圆的第二定义 例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直 l: 的距离的比是常数 ,求动点M 的轨迹. 学习目标三 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 相切 解 相离 解 例7如图，已知直线l, 4x-5y+m=0和椭圆C: .m为何值时，直线 l 与椭圆C: ( 1 ) 有 两个公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? ✱学习目标四 弦长和中点弦问题 例1 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 例2 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程． 巩固练习 1.判断（对的画√，错的画×） (1)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交． (　　) (2)长轴是椭圆中最长的弦． (　　) (3)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　　) (4)直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． (　 　) 2．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于(　　) A．1 B．±1 C．－1 D．±2 3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A．　　　　　B． C． D． ★4．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 ★5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 3.1.2（第二课时）参考答案 1.(1)√　(2)√ (3)×　(4)√ 2.　B 解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1. 3.　A解析　由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.由消去y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，所以＝×＝1，解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋，即x＋2y－3＝0. 4.A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 5.　[由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝.] 例3 解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－， 将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝. 例4 解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.又M为线段AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法二　点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭