数列求和专练4—错位相减-2024届高三数学一轮复习

数列求和专练4—错位相减 数列求和是高考大题必考内容，数列求和的题型有讨论奇偶、裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和等，本专题给同学们总结错位相减的题型，错位相减题型方法比较固定，主要考查大家的计算能力，在求和时要看清项数再计算。 典型例题 1．记为数列的前项和，已知，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 2．已知数列满足，． （1）记，证明：数列为等比数列； （2），求数列的前项和． 3．在数列中，，，且． （1）设，证明：是等比数列； （2）设为数列的前项和，是否存在互不相等的正整数，，满足，且，，成等比数列？若存在，求出所有满足要求的，，的值；若不存在，请说明理由． 4．记数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设为整数，且对任意，，求的最小值． 5．在等差数列中，，为的前项和，，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 6．设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求． 数列求和专练4—错位相减答案 1．记为数列的前项和，已知，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以数列是等差数列，公差为1，， 所以，即， 时，，适合此式， 所以，； （2）由（1）得，， 于是， 两式相减得 ， 所以． 2．已知数列满足，． （1）记，证明：数列为等比数列； （2），求数列的前项和． 【解答】解：（1）证明：由，， 可得，， ， 又， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列； （2）， 可得， 则， ， 上面两式相减可得 ， 化为． 3．在数列中，，，且． （1）设，证明：是等比数列； （2）设为数列的前项和，是否存在互不相等的正整数，，满足，且，，成等比数列？若存在，求出所有满足要求的，，的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：因为， 所以， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列； （2）解：由（1）知，故， ①， 由①，得②， ①②，得， 所以， 假设存在互不相等的正整数，，满足，且，，成等比数列， 则，，成等比数列，即， 化简，得， 又，所以，即，解得，与正整数，，互不相等矛盾， 所以不存在互不相等的正整数，，满足，且，，成等比数列． 4．记数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设为整数，且对任意，，求的最小值． 【解答】解：（1）当时，， 所以， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 所以， 又不满足， 所以； （2）由（1）结合题意可得，， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又， 所以的最小值为7． 5．在等差数列中，，为的前项和，，数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为， 所以，解得，所以， ，① 则当时，② ①②得：，则， 而当时，，则，满足上式． 所以． （2）记， ， ， 两式相减可得， 所以． 6．设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求． 【解答】解：（Ⅰ）是等差数列，是等比数列，公比大于0． 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，． 由题意可得：①；② 解得：，， 故， （Ⅱ）数列满足， 令①， 则②， ②①得： ； 故 $$