数列求和专练1—讨论奇偶（一）-2024届高三数学一轮复习

数列求和专练1—讨论奇偶（一） 数列求和是高考大题必考内容，数列求和的题型有讨论奇偶、裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和等，本专题给同学们总结讨论奇偶的题型，大家在做题过程中要总结分类讨论的原因，另外要深刻理解等差、等比数列的求和公式各基本量的含义，在做题中，往往让求的是新数列的和，大家要找准新数列的首项、项数、公差、公比。 典型例题 1．已知为等比数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 2．如图，已知的面积为1，点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；；以此类推，第次取中点后，得到的三角形面积记为． （1）求，，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 3．已知是等差数列的前项和，公差，且，，成等比数列． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设为数列的前项和，求 4．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，记． （1）求的通项公式； （2）求前项和的最值． 5．设是数列的前项和，已知，． （1）求，； （2）令，求． 6．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和为． 7．已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 数列求和专练1—讨论奇偶（一）答案 1．已知为等比数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 【解答】解：（1）为等比数列，其前项和为，，． ，， 则，两式作商得，即， 得，， 则，． （2）， 当时，， 即是公比为的等比数列，首项， 则． 2．如图，已知的面积为1，点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；；以此类推，第次取中点后，得到的三角形面积记为． （1）求，，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【解答】解：（1）由题意可知，，， 由此可知，故是以公比为的等比数列，所以． （2）由得，， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 故． 3．已知是等差数列的前项和，公差，且，，成等比数列． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设为数列的前项和，求 【解答】解：（Ⅰ）由题意得， 即， 代入，解得， 所以． （Ⅱ）， 当为偶数时，设，记， ， 当为奇数时，设， ， 综上，． 4．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，记． （1）求的通项公式； （2）求前项和的最值． 【解答】解：（1），， ，，成等比数列，， 即， 化简得， 由解得或（舍去）， ． （2）由， 可知 ， 设的前项和为， ， 当为偶数时，，单调递增，， 当为奇数时，，单调递减，， 前项和的最大值为，最小值为． 5．设是数列的前项和，已知，． （1）求，； （2）令，求． 【解答】解：（1）当时，有， 当时，有， 因为，所以， 所以，． （2）因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，即， 因为， 所以， 故． 6．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和为． 【解答】解：（1）等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列． ，即，化为：． ． （2）， 为偶数时，数列的前项和为． 为奇数时，数列的前项和为． 7．已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为， ，为的前项和，，， 则，即，解得， 故； （2）证明：由（1）可知，， ， 当为偶数时，， ， ， 当为奇数时，，， ， 故原式得证． $$