吉林省长春市文理高中2022-2023学年高一下学期第三学程考试数学试题

长春市文理高中2022—2023学年度（下）高一年级 第三学程考试 数学试卷 （本试卷共四页，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题：本大题共8道小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论中正确是（ ） A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个 B. 若平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行 C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行 D. 若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个 4. 已知向量， ， ，若与垂直，则实数值为（ ） A. B. C. D. 5. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s;第二组，成绩大于等于14s且小于15s；……；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为，平均成绩为，则从频率分布直方图中可分析出，，的值分别为（ ） A. 90%，35，15.86 B. 90%，45，15.5 C 10%，35，16 D. 10%，45，16.8 6. 在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，则边上的中线长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 若复数，则为纯虚数的充要条件是 C. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为 D. 是关于的方程的一个根 10. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形或直角三角形 B. 若，则 C. 若，则钝角三角形 D. 若，，且结合长解三角形，有两解，则长的取值范围是 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ） A. 当时，直线过边的中点； B. 若，且，则； C. 若时，与的面积之比为； D. 若，且，则满足. 12. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若平面与平面的交线为，则AC//l C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为 三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分． 13. 若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是______． 14. 已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________. 15. 在空间直角坐标系中，经过且法向量的平面方程为，经过且方向向量的直线方程为．阅读上面材料，并解决下列问题：给出平面的方程，经过点的直线l的方程为，则直线l的一个方向向量是__________，直线l与平面所成角的余弦值为__________． 16. 在锐角中，内角所对的边分别为，点为的重心，，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 已知向量满足，且和的夹角为. （1）求； （2）求向量在向量方向上的投影向量的长度. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求点F到平面的距离． 20. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节