5.5.2 简单的三角恒等变换-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第五章三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换 [学习目标]1.能用两角和差公式、二倍角公式、积化和差，和差化积，半角公式（后三组公式不要求记忆）进行 筒单的恒等变换，提升逻辑推理的核心素养（重点），2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明 三角恒等式，并能进行一些简单的应用，提升数学运算的核心素养（难点） 必备知识，基础落实 答案见P 要点一 半角的正弦、余弦、正切公式 (3)cos a+cos B=2coscos 2 21 1.由二倍角的余弦公式cosa=2cos2 2 -1=1 (4cosa-cosg=-2sin寸9sin“,月 2 2 2sim号可得半角公式： 2.积化和差公式 1-cos a 2 2 2 I+cos a,tang 2 (1)sin acos -[sin(a+)+sin(a-B)]. 1-cos a 1+cos a (2)cos asin -sin(-sin( 2.由1中得到的三个式子两边开方可得： (3)coss-月zcos(a+9》+cos(a-》]. sin号=土 1-cos a 1cos a 2 cos g=士 2 (4)sin asin B=- 2[cos(a+B)-cos(a-B)J. 1 m号=士行8，其中的符号由号所在的 辨析 象限确定 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 3.万能公式：sin2a= 2tan a 1+tan'a -cos 2a 1+cos a 2 ( 1+iam。,tan2a 1-tan'a 2tan a 1-tan'a (2)存在a∈R,使得cosg=。 2 2cos a. 要点二 和差化积，积化和差公式 g= (3)对于任意a∈R,sin 2sina都不成立. 1.和差化积公式 (1)sin a+sin B-2sinco 2 21 (4)若a是第一象限角，则tan受-√千cos& 1-cos a 关键能力·素养提升 答案见Pm 探究一 半角公式的应用 ②若给出了角α的具体范围（即某一区间）， 规律总结 则先求号所在范围，然后再根据号所在范国 (1)确定半角的正弦、余弦、正切公式的符号 确定正负号 的原则 (2)半角的正切公式的有理式形式是tang= ①如果没有给出决定符号的条件，则在根号 sin a 1-cos a 前保留正负两个符号： 1十c05a sin a ·155 数学必修第一册课堂学案 【例题1】已知+cosa=2,求cosa一sina的值. 【例题2】已知sin0+cos0=2sina,sin3 sin a sin Ocos0,求证：cos23=2cos2a. 444+444444444+4444444444444444444444444444 【变式1】已知cos0= 号，且180<0<270，求 sin a+11 0 tan 2' 【变式2】求证：1十sina十cosa21an号+了 2 2 探究三 辅助角公式的应用 规律总结 探究二 三角恒等式的证明 (1)公式形式：asin a十beos a=√a+b· 规律总结 sin(a+g(amg=2）线usin a+-beos a 对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的 方法有直推法和代入法.将条件角转化为结 Va+Fcs(a-p)(tan9=若).将形如a· 论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是 sina十bcos a(a,b不同时为零)的三角函数 直推法：有时从条件等式中解出关于某个角 式转化为同一个角的三角函数式。 的某个三角函数值，代入结论，等式便消去某 (2)形式选择：化为正弦还是余孩，要由具体 个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明 条件而定，一般要求转化后角α的系数为正， 问题，这就是代入法的基本思想. 这样更有利于研究函数的性质. ·156 第五章三角函数 【例题3】已知函数f(x)=4 tan xsin(受-x)· 【例题4】已知某标准足球场长105米，宽68米， 球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他 cos(x-5）-5. 距离底线多远处射门，命中率最高（注：对球 (1)求f(x)的定义域与最小正周期： 门所张的角最大时命中率最高)？ (2)讨论f八x)在区间[一牙，]上的单调性. 【变式3】设函数f(x)=msin2x+2cosx-1 (m>0),且f(x)的最小值为-2. (1)求m (2)若函数f(x)在区间[一石，a]上的值域为 [-1,2],求实数a的取值范围。 【变式4】(1)如图所示，要把半径为R的半圆形 木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB 的周长最大？ (2)在(1)的条件下，求长方形面积的最大值. 探究四 三角函数的实际应用 解题技巧 应用三角函数解实际问题的方法 (1)解答实际问题的关键是合理引入辅助角，确 定各量之间的关系，将实际