5.4.3 正切函数的性质与图象-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第五章三角函数 5.4.3正切函数的性质与图象 [学习目标]1，掌握正切函数的周期性和奇偶性，培养数学抽象的核心素养（重点），2，能借助单位圆画出y= anx的图象，培养直观想象的核心素养，3.掌握正切函数在（一受，受）上的性质，培养数学运算的核心素养 (重点) 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 正切函数的图象 (续表) 性质 图象特点 奇函数 图象关于原点对称 在每一个区间 图象在（一受+kx,受+标）， (k∈上都单调递增 k∈Z上是上升的 要点二正切函数的性质 辨析 性质 图象特点 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)正切函数在整个定义域内单调递增.( 定义域为 图象与直线r=受十km, (2)存在某个区间，使正切函数单调递减 k∈Z没有交点 值域为 图象向上，向下无限延伸 (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为 周期元 () 最小正周期为 在区间（一受+x,受+x) (4)函数y=tanx为奇函数，故对任意x∈R k∈Z上图象完全一样 都有tan(-x)=一tanx. () 关键能力·素养提升 答案见P型 探究一 正切函数的定义域 【例题1】求函数y=√tanx一√3的定义域. 规律总结 正切函数y=tanx的定义域为xx≠kπ十 登，C☑小.求正切画数与共他画数复合而成 的函数的定义域时，实际上就是解关于正切 函数的三角不等式，常借助三角函数的图象 求解。 ·143 数学必修第一册课堂学案 【变式1】求下列函数的定义域 【变式2】1)函数f(x)=tan(受-)的单调递 a)y=tan(6r+牙)：(2)y=ln(tanx). 增区间是 A[2kx-2x+],k∈7 B(2kx一，2kx+）,k∈Z C[x一经4kx+],k∈Z D(4kx一子4x+)k∈Z 探究二 正切函数的单调性 (2)tan(-1） tan(-16)(填“>” 规律总结 “<”或“=”). ()正切函教y=tanx在开区间（一受十km, 探究三正切函数的值域（最值） 受+kx)(k∈Z)内都单调递增，求函数y 规律总结 Aan(aur十p)的单调区间，只需由一受十kx< ()正切函数y=anx在定义城{z女≠受十 十g<受十kx∈Z)解出x的取值范国即 kπ，k∈Z上的值域为R,而对于不同的x的 可.但若仙<0，可利用诱导公式将其化为正 取值范围，值域会不同，一般需要根据其单调 值，还要注意A的正负对函数单调性的影响. 性和图象求解 (2)利用正切函数的单调性及复合函数的单 (2)在有关正切函数的值域问题中，应注意x 调性来研究含有正切函数的函数的单调性或 的取值范围，求出tanx的取值后，一般可以 者比较正切函数值的大小 采用换元法求函数的值域。 【例题2】(1)求函数y=1am(-r+)的单调 【例题3】若x∈[-弩，]，求函数y=03 递减区间. 2tanx十1的最值及相应的x的值. (2)比较tanl,tan2,tan3的大小. 144 第五章三角函数 【变式3】求函数y=1-mos工，r∈[o,牙]的 cos'r 【例题】（多选）关于函数y=m(2x一)，下列 最大值和最小值. 说法错误的是 A.是奇函数 B在区间(0，号)上单调递减 C(,0)为图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 探究四正切函数的周期性、奇偶性与对称性 规律总结 (1)正切函数y=tanx的最小正周期是π，这 与正弦函效、余弦函数不同.一般地，函效y Aan(ar十g)A>0.w>0)的周期为T- 【变式4】关于x的函数f(.x)=tan(x十)有以下 几种说法： (2)正切函数是奇函数，正切函数的图象关于 ①对任意的中，f(x)都是非奇非偶函数： 原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中 心坐标是（经，0小，∈乙，正切函数的图象无 ②fx)的图象关于点（受-9,0）对称： ③f(x)的图象关于点(xp,0)对称： 对称轴，而正、余弦函数的图象既中心对称又 ④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 轴对称。 其中正确说法的序号是 随堂检测·学以致用 答案见P 1.函数y=√1 og,tan c的定义域是 A(o,] B(2km,2kx+]k∈Z C(km,kx+],k∈Z D.(km-受kx十]k∈Z 3.若fz)=tan(x+买)，试比较f(-1),f(o), 2.函数fx)=cos si血文在区间[一不，x]上的图象 (1)的大小，按从小到大的顺序排列为 大致是 4函数y=an(x一x),x∈（一牙，）的值域 提示完成P课时作业（四十一） ·145得>-所以-<，所以=0， [例题时服团y十2mx+1-o点+2mr+ 所以<<，即的取值范周为[，] 1=tanx+2tanx十2-(tanr十1)2+1. 国为xe[-景·晋]，所以mx[