5.3 诱导公式-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 5.3 诱导公式 [学习目标]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（口士受口士x的正弦，余弦、正切），培养逻辑推 理、直观想象的核心素养，2.记住诱导公式并能运用诱导公式进行求值、化简和证明，提升逻辑推理，数学运算 的核心素养（重点）. 必备知识·基础落实 答案见P 要点诱导公式 2.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余 l.公式-：sin(a十k·2x)=sina,k∈Z: 弦函数的相互转化.公式一一公式六都叫做诱 cos(a+k·2r)=cosa,k∈Z: 导公式.六组诱导公式的记忆口决为 tan(a+k·2π)=tana,k∈Z 诱导公式可以统一概括为 公式二：sin(x十a)= cos(π+a)= “k·乏士a(k∈)”的诱导公式，当k为偶数 tan(π+a) 时，得a的同名函数值：当为奇数时，得α的 公式三：sin(一a)= 异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时 c0s(-a)= 原函数值的符号。 tan(-a)= 辨析 公式四：sin(x一a)= cos(x-a）= 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” tan(x-a)= (1)诱导公式中的角α一定是锐角. 公式五：sin(受-a)= (2)口决“符号看象限”指的是把角α看成锐角 时原三角函数值的符号 () cos(2-a)- (3)口诀中的“变”与“不变”是针对三角函数名 公式六：sim(受+a) 而言的 () (4)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用 cos(2+a)- 角度制表示。 关键能力~素养提升 答案见P 探究一 给角求值 ①若有负角，则将求负角的三角函数值转化 为求正角的三角函数值问题； 规律总结 ②把求非负角的三角函数值问题转化为求 给角求值的解题步骤 0°360°角的三角函数值问题： ③把求0°~360°角的三角函数值问题转化为 (1)利用诱导公式可以将求任意角的三角函 求0°一90°角的三角函数值问题. 数值转化为求0°~90°角的三角函数值，步骤 (2)sin(nπ十a)=(-1)"sina(n∈Z): 如下： cos(nπ十a)=(-1)"cosa(n∈Z). ·130· 第五章三角函数 【例题1】求下列各三角函数值 【例题2】(1)已知sin(得-a)=3,求cos(答+a (1)sin(-1200°)：(2)tan945°：(3)cos 47π 6 的值 (2)已知c0s(75+a)=3,求cos(105°-a)+ sin(15°-a)的值. 【变式1】求下列各三角函数值 1)sin牙os1gan2头， (2)v3sin(-1200)tan570°-cos585°· tan(-1665). 【变式2】(1)已知sin(π一a)=a(-1<a<0,a是 第四象限角)，求cos(一r一a)的值. (2)已知ems晋+a)-号求oms(+a)的值 探究二 给值求值 规律总结 诱导公式的应用中，利用互余（互补）关系求 值是最常见的问题，一般解题步骤如下： (1)定关系：确定已知角与所求角之间的关 探究三利用诱导公式化简与证明 系，常见的五余关系有背-。与晋十@，哥 与吾-a,晋十。与平-a等，常见的互补关系 解题技巧 三角函数式的化简与证明的方法 三角函数式的化简主要采用“异角化同角，异 (2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的 名化同名”的解题策略。利用诱导公式将异角 诱导公式 化同角，利用同角三角函数关系式将异名化 (3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知 同名，并进行化简.三角函数式的证明主要是 值和所求值之间的关系，从而得到答案 由繁到简 131 数学必修第一册课堂学案 sn(4x-acos(登+a 【例题4】在△ABC中，若sin(2π一A)=-√2· 【例题3】化简： in(r+a）cos(2xa） sinl 2 sin(x-B),V3cosA=-√2cos(x-B),求 △ABC的三个内角. tan(5r一a) sin(3-a)sin(a) 【变式3】求证，tan3 a)sin(-5r十a)cos(4ra) tan a. 【变式4】在△ABC中，nA+BC= A-B+C 2 2 试判断△ABC的形状 探究四 诱导公式的综合应用 规律总结 三角形中A+B+C=,A生+号-受所 2 以三角形内角的问题经常应用诱导公式.常 见式子有sin(A+B)=sinC,cos(A十B)= -cos C,tan(A+B)=-tan C,sin A+B 2 C cos 2.cos A+B-sin C ·132· 第五章三角函数 随堂检测·学以致用 答案见P 1.sin(-1920)的值是 3.已知sin(号+a)=-号，则sim(a-变） A号 B一 C.-3 2 号 4.已知0是第四象限角，且s