5.2.2 同角三角函数的基本关系-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见P 1.(多选)已知角0的终边经过点P(2a,a)(a> C.sin 2a0 D.sin 2a<0 0),则 3.计算：sin390°-√2cos765°+3cos(-660°) A.sin 0=5 5 B.cos 5 √3tan(-330)= 4.在直角坐标系中，cosa= C.tam0=号 D.tan 0=2 5,sin a=- ,则角 2.(2020·全国Ⅱ)若a为第四象限角，则( α的终边与单位圆的交点坐标为 A.cos 2a0 B.cos 2a<0 提示完成P6课时作业（三十五） 5.2.2同角三角函数的基本关系 [学习目标]L.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用，提升逻辑推理和直观想象的核心素养 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明，提升数学运算和逻辑推理的核心素养（重难点）， 必备知识·基础落实 答案见P 要点同角三角函数的基本关系式 (2)c0sa= ,81na= 1.平方关系 辨析 同一个角α的正弦、余弦的 等于1， 0判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 即 (1)因为m7+cox至=1，所以ima十coB 2.商数关系 同一个角a的正弦、余弦的 等于 1成立，其中a,3为任意角， 角a的正切，即 其中角α满足条 (2)对任意角a,sina=cos atan a都成立. ( 件 3.在解决实际问题中，常常需要用到两个基本关 3sin号十os号=l 系式的如下变式： (1)sina= (4)对任意的角a,都有ana=加成立.(） cosa= cos a 关键能力·素养提升 答案见Pg 探究一 利用同角三角函数的基本关系式求值 关系式最基本的应用.在求“平方根”时，要注 意判断符号 误区防错 (2)若角a所在的象限已经确定，求另两种三 求三角函数值的注意点 角函数值时，只有一组结果：若角α所在的象 (1)由已知角的正弦、余弦、正切中的一个值 限不确定，要注意分类讨论，一般有两组 求出其余两个值，即“知一求二”是本节两个 结果 ·126 第五章三角函数 【例题】已知加。最且。是第二象限角，求 ②整式齐次式（一般与sina,cos2a,sina· cosa,tana的值 cosa相关)：把分母看作“1”，用sina十cosa 替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在 分子和分母中同时除以c0s:,即可得到关于 tana的代数式，从而得解。 (2)“sina十cosa”“sina-cosa”“sin acos a" 可以知一求二 【例题2】已知a满足tana=3,求下列各式的值. (1)sin a-Acos a 5sin a+2cos a (2)sin'a+2sin acos a-3cos a. 【变式1】已知tana=2,求sina,cosa的值 【变式2】已知tana= ，求下列各式的值 1 (1)cos a-5sin a 3cosa十sina 探究二 齐次式求值问题 (2)sin'a sin acos a3cosa 5sin acos a+sina+1 (3)2sin'a-sin acos a+cos a. 解题技巧 齐次式求值的方法 (1)已知角a的正切值，求由sina和cosa构 成的代数式的值，构成的代数式通常是分式 或整式的齐次式（每一项的次数相同）， ①分式齐次式：因为c0sa≠0，一般可在分子 和分母中同时除以cos"a,使所求代数式化成 关于tana的代数式，从而得解. ·127 数学必修第一册课堂学案 【例题3】已知sina十cosa= 行，求下列各式 【例题+】(1)化简，2sn130cos130 sin130°+√1-sin130 的值。 1-sin a (1)sin acos a;(2)sin a-cos a: (2)已知a为第二象限角，化简cosa√1十na (3)sin'a+cos a. 1-cos a sina√1+cosa 【变式4】化简下列各式. 【变式3】若ina十cosa=言，其中0<a<x,则 (1)V1-2sin10'cos10 sin10°-v√1-sim1o tan a= 探究三 三角函数式的化简 (2)1-2sin受os号 √1+2sin受os号 规律总结 (0<a<): (1)化简三角函数式的一般要求：①使函数种 类最少，项数最少，次数最低；②尽量使分母 不含三角函数式，根号内的三角函数式尽量 开出来：③能求值的把值求出来 (2)三角函数式的化简过程中常用的方法： ①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化 为正孩、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化简的目的： ②对于含有根号的，常把根号下的式子化成 完全平方式，然后去根号，达到化简的目的： ③对于含高次的三角函数式，往往借助于因