5.1.1 任意角-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 第五章 三角函数 5.1任意角和弧度制 5.1.1任意角 [学习目标]1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养数学抽象和直观想象的核心素养（重点），2.理 解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，培养逻辑推理和数学运算的核心素养（重 点).3.了解象限角的概念，培养逻辑推理和数学运算的核心素养， 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 角的有关概念 2.设a,3是任意两个角，我们规定，把角a的终边 有关概念 描述 旋转角3，这时终边所对应的角是 角可以看成」 绕着 3.相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转 定义 转所成的 相同的量所成的两个角叫做互为 ,角 a的相反角记为 ,于是有a一B=a十 如图，圆心O为 ,这样角的减法可以转化为角的加法 图示 射线OA为角a的 射线OP为角a的 要点四 象限角 若角的顶点与原点重合，角的始边与 记法 角a或∠a,简记为a 重合，那么，角的 在第几象限， 要点二 任意角的分类 就说这个角是第几象限角.如果角的终边在 名称 定义 上，那么就认为这个角不属于任何一 条射线绕其端点按 时针方向旋转形 正角 个象限. 成的角 要点五终边相同的角 一条射线绕其端点按 时针方向旋转形 负角 成的角 设α表示任意角，所有与角a终边相同的角，连 零角 一条射线 做任何旋转形成的角 同角a在内，可构成一个集合S={BB >思考：(1)如果一个角的终边和始边重合，那么 },即任一与角a终边相同 这个角一定是零角吗？ 的角，都可以表示成角α与 的和. (2)角的概念推广后角的范围有怎样的变化？ 辨析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×”. (1)第一象限角是锐角。 ( (2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则 要点三角的运算 这个角越大， () 1.若两角α，3的旋转方向相同且旋转量相等，那 (3)终边相同的角的表示不唯一， () 么就称 (4)角a与-a的终边关于x轴对称.() 116 第五章三角函数 关键能力·素养提升 答案见P知 探究一 角的概念 探究二 象限角和终边相同的角 误区防错 规律总结 注意正确区分不同的角 (1)判断象限角的步骤 角的概念推广后就不能局限在0°到360°内考 ①当0°≤a360°时，直接写出结果： 虑问题，要考虑所有满足题意的角.在解题时 ②当a<0°或a≥360时，将a化为k·360°+ 要注意正确区分象限角、锐角、直角、钝角等 3(k∈Z,0°≤3360)，转化为判断角B所属 容易混淆的角.例如，锐角是大于0°小于90° 的象限 的正角，直角是90°的角，钝角是大于90°而小 (2)与角a终边相同的角的一般形式是B 于180°的正角，平角是180°的角.不可错误地 a十k·360°(k∈Z),其中几个要点要理解： 认为小于90°的角是锐角. ①k∈Z,其含义是整数倍：②a是任意角： ③终边相同的角不一定相等，例如30°，390°， 【例题1】下列结论： 一330°，一690°等，它们的终边是相同的，但 ①三角形的内角必是第一、二象限角： 是它们不相等，而相等的角的终边一定相同： ②始边相同而终边不同的角一定不相等： ④终边相同的角有无数多个，由于它们的终 ③第四象限角一定是负角： 边相同，所以终边相同的角有许多相同的性质 ④钝角比第三象限角小： ⑤第二象限角是钝角： 表示方法 角度制表示 ⑥小于180的角是钝角、直角或锐角. 终边位置 其中正确结论的序号为 x轴的非负半轴 {ala=k·360°，k∈Z x轴的非正半轴 {aa=180°+k·360°，k∈Z x轴 {aa=k·180°，k∈Z 444444444444444+444-4444+44444444+44444444444444 y轴的非负半物 {aa=90°+k·360°，k∈Z 轴的非正半物 {aa=270°+k·360°，k∈Z 【变式1】若将一钟表上的时间拨慢5分钟，则时 y轴 {aa=90°+k·180°，k∈Z 针转了多少度？分针转了多少度？若将时间 拨快1小时呢？ 【例题2】已知a=-315° (1)把a改写成k·360°+(k∈Z,0°≤3 360°)的形式，并指出它是第几象限角： (2)求0，使0与a终边相同，且一1080°<0< -360° 117 数学必修第一册课堂学案 【变式2】已知a=一1845°，判断a是第几象限 【例题3】如图所示. 角：在与α终边相同的角中，求满足下列条件 (1)写出终边落在射线OA,OB上的角的 的角 集合： (1)最小的正角： (2)写出终边落在阴影部分（含边界）的角的 (2)最大的负角： 集合 (3)一360°~一720°之间的角。 中中年中中中有中行市年年十中下中中中年年中年中十中年 30 60