4.5.1 函数的零点与方程的解-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数 随堂检测学以致用 答案见P脚 1,某辆车每次加油都把油箱加满，如表所示记录 下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化 了该车相邻两次加油时的情况。 关系的是 加油时的累计 A.y=2 B.y=x2-1 加油时间 加油量/升 里程/千米 C.y=2.x-2 D.y=log. 2023年3月1日 12 35000 4.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备 2023年3月15日 48 35600 制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖 路程。 金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的 在这段时间内，该车每行驶100千米平均耗油 增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时 量为 ) 奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型： A.6升 B.8升 y=0.2x,y=logx,y=1.02,其中哪个模型 C.10升 D.12升 符合该校的要求？ 2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的 函数关系如图所示，则下列说法正确的是 A.甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 3.在某实验中，测得变量x和变量y之间的对应 数据如表所示 0.50 0.99 2.01 3.98 1.01 0.01 0.98 2.00 提示完成P课时作业（二十九）和Pm培优训练（六） 4.5 函数的应用（二） 4.5.1函数的零点与方程的解 [学习目标]1，结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系，培养直观想象的核心素养，2.结合具体连 续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，培养逻辑推理和数学运算的核心素养（重点）. ·103· 数学必修第一册课堂学案 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 函数的零点 数y=ax+bx十c(a≠0)有两个不同的零点 对于一般函数y=f(x),我们把使 T1,T2. 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个相 等的实数解=x2台判别式△=0台对应的二 要点二方程、函数、图象之间的关系 次函数y=a.x十bx十c(a≠0)的图象与x轴有 方程f(x)=0 台函数y=f(x) 唯一的公共点为(x1,0)台对应的二次函数y 台函数y=f(.x)的图象 a.x2十bx十c(u≠0)有两个相同的零点x1=x2. 要点三函数零点存在定理 3.一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)没有实数 如果函数y=f(x)在区间[a,b们上的图象是一 解曰判别式△<0台对应的二次函数y=a.x2十 hx十c(a≠0)的图象与x轴没有公共点台对应 条 的曲线，且有 ,那么， 的二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)没有零点. 函数y=f(x)在区间(a,b)内至少 ,即 辨析 存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 是方程f(x)=0的解。 (1)所有的函数都有零点， ( 要点四 二次函数的零点与对应一元二次方 (2)若方程f(x)=0有两个不等实根1，则 程解的关系 函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0). L.一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个不 (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，则 相等的实数解x,x台判别式△>0=对应的 一定有f(a)·f(b)<0. () 二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象与x轴 () 有两个交点为(x1,0),(x2,0)台对应的二次函 (④)函数)=2一1的零点是2 关键能力，素养提升 答案见Pm 探究一 求函数零点及其个数 【例题1】(1)若函数f(.x)=b.x十a(a≠0)有一个 零点一3，那么函数g(x)=ax2+2bx的零点 解题技巧 是 x+2,x<0, 求函数y=f(x)的零点的方法 (2)函数f(x)= 的零点个数 x2-1,x>0 (1)代数法：根据零点的定义，解方程∫(x) 0,它的实数解就是函数y=f(x)的零点 (2)几何法：若方程f(x)=0无法求解，可以 根据函数y=f(x)的性质及图象和零，点存在 定理求出零点 (3)交点法：欲求f(x)一g(x)=0的零点，可 2x-3,x∈[1+oo). 【变式1】(1)设函数f(x)= 以转化为求方程f(x)=g(x)的解，可在同一 x2-x,x∈(-1,1)， 坐标系中画出f(x),g(x)的图象，其交点的 则函数y=f)-的零点为 横坐标即为f(x)一g(x)=0的零点，交，点的 个数对应零点的个数 (2)函数f(x)=lnx+2x一6的零点个数 为」 ·104 第四章指数函数与对数函数 探究二判断函数零点所在的区间 根的分布 图象