4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见Pa 1.W(-2)的值是 3.化简√8+43-√8-4√3 A.-2 B.±2 4.以下各式中，正确等式的序号是 C.2 D.以上都不正确 ①=7，@aa, 2.(多选)下列各式正确的是 A.(-3y-(-3)B.a-lal ③xyi- C.2-2 D.a°=1 提示完成P课时作业（二十） 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 [学习目标]通过对有理数指数幂a(a>0,且a≠1：m,n为整数，且>0)、实数指数暴a(a>0,且a≠1：x∈ R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质，提升数学抽象与数学运算的核心素养 (重点) 必备知识·基础落实 要点一无理数指数幂与实数指数幂 数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂。 一般地，无理数指数幂a(a>0,a是无理数)是 要点二实数指数幂的运算性质 一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 1.a'a'=a(a>0,r,sER). (a>O)中指数x的取值范围从整数逐步拓展 2.(a)'=(a>0,r,s∈R). 到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整3.(ab)=ab(a>0,b>0,r∈R). 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 指数幂的化简求值 【例题】计算下列各式。 -18r+()'x3+@, 规律总结 指数幂运算的原则与技巧 (2)Vxy√xyT·√xy·(xy)-1(xy>0). (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数 运算。 (2)负指数幂化为正指数幂的倒数 (3)底数是小数，要先化成分数：底数是带分 数，要先化成假分数，然后要尽可能用暴的形 式表示，便于利用指数幂的运算性质。 注意：化简的结果不能同时含有根式和分数 指数，也不能既含有分母又含有负指数 ·78· 第四章指数函数与对数函数 【变式1】计算下列各式. 【例题2】已知x+x十=4，求下列各式的值. (1)3-27+16-2×(8)+2× (1)x十x1;(2)x2+x2. (4): (2)(号)+3×(3-2)'-() (层) 4444444444444444444444444444444444 【变式2】已知x十y=12,xy=9,且x<y,求 一义的值。 探究二指数幂的条件求值 规律总结 44444444444444444444444444 条件求值问题的思路与步骤 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一 般要结合已知条件先化简再求值，另外要特 别注意条件的应用，如条件中的隐含条件的 应用、整体代入法的应用等，可以简化解题 过程 (2)利用“整体代入法”求值时常用的变形公 式如下： ①a士2abt+b=(at±b)': ②(at+b)(at-b)=a-b: a+b=(a+b)(a-ab+): ④a是-b=(a-b)(a+ab+b. ·79· 数学必修第一册课堂学案 探究三指数幂的代数证明 【变式3】设a,b,c都是正数，且3=4=6，求 证名-名+公 规律总结 对于指数幂等式的证明问题常常是将指数暴 化为同底，利用指数暴相等的规律进行证明. 解决此类问题的关键是通过指数运算进行等 价代换，以及利用参数找到已知与结论的联 系，这样才能使问题迅速得到解决。 【例题3】已知ax=y=,且1+1+1=1. y 求证：(ax2+by2+c2)=a+b+c. 随堂检测·学以致用 答案见P L.下列化简与计算中，正确的个数是 (2)若a=2-1,求4十a ①(a)=a';②a3·a=a(a>0): `a+aT的值. ③a=a:④(-8)=(-8)=(-8)=-2 ⑤2×(-3)=2×-3=9-6=-6. A.0 B.1 C.2 D.3 2.计算：(5-√125)÷5= 3.设a,3是方程5.x2十10.x+1=0的两个根，则 2·22= ,(2)= 41)求0.001-（餐）°+16+(2.3) 提示完成P课时作业（二十一） 的值. ·80·④(x-6)=x-6. 当x<0,y<0时， (2)原式=(x-1)F-√(x+2)=|x-1|-|x+2, 原式=[.xy(-x)t(-y)+]片(xy)(xy) 因为一2<x<2, =[-(-x)(-y)2(-x)t(-y)+](xy)寸 所以当-2<1时，原式=-(x-1)-(x十2)=-2x-1, =[-(-x)t(-y)]t(xy) 当1≤x<2时，原式=x-1-(x十2)=-3， =-(-x)+(-y)+(-x)+(-y)+=-1. 所以原式= 1-2x-1,-2<x<1, -3,1≤r<2. [变式1]解析(1)原式=√3-(3)++(2)十一2×(2)t十 [变式2]解析(1)①√(-6)下=一6. 2+×2*=3-3++2-2×22+2++=√3-3+8 8+2-2. ③V(3a-3)-|