4.1.1 n次方根与分数指数幂-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章指数函数与对数函数 第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 [学习目标]1.理解n次方根和根式的概念，培养数学抽象的核心素养2.能正确运用根式的性质化筒求值，培 养数学运算的核心素养（重点）.3.学会根式与分数指数暴之间的相互转化，培养数学运算的核心素养（姐点） 必备知识基础落实 答案见P 要点一n次方根及相关概念 (2)64的立方根是 L.a的n次方根的定义 (3)64的六次方根是 一般地，如果 ,那么x叫做a的n次 要点三分数指数幂的意义 方根，其中n>1,且n∈N”. L.规定正数的正分数指数幂的意义是a”= 2.a的n次方根的表示 (a>0,m,n∈N°，n>1):规定正数的负 (1)当n是奇数时，a的n次方根用符号表示为 分数指数幂的意义是a中= (a∈R). (a>0,m,n∈N°，n>1). (2)当n是偶数时，a的n次方根用符号表示为 2.0的正分数指数幂等于，0的负分数指数 幂 (a≥0). 要点四有理数指数幂的运算性质 3.根式 式子 叫做根式，这里n叫做 ,a叫 1.a'a'=a'(a>0,r,sEQ). 做 2.(d)=a°(a>0,r,s∈Q). 3.(ab)=a'b"(a0,6>0,rEQ). 要点二根式的性质 辨析 1.0= (n∈N°，且n>1),(a)"= 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (n∈N,且n>1). (1)当n∈N“时，（一3）"都有意义.() 2.当n为大于1的奇数时，Va" :当 (2)实数a的奇次方根只有一个. () n为大于1的偶数时，a”= (3)(a)"中实数a的取值范围是任意实数. ,a≥0， ( ,a<0. (4)所有的分数指数幂与根式都可以相互 >练习：(1)64的平方根是 转化. () ·75· 数学必修第一册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见P 探究一n次方根及相关概念 探究二 根式的化简和求值 规律总结 误区防错 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为 根式的化简和求值的注意点 相反数，任意实数的奇次方根只有一个 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根 (2)符号：根式a的符号由根指数n的奇偶 式的性质和乘法公式（完全平方公式、立方和 性及被开方数a的符号共同确定.①当n为 (差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到 偶数，且a≥0时，a为非负实数；②当n为奇 化繁为简的目的. 数时，Wa的符号与a的符号一致. (2)化简时需注意在根式计算中，含有a(n 为正偶数)的形式中要求a≥0，而a"中a 【例题1】(1)以下说法正确的是 可以是任何实数 A.正数的n次方根是正数 (3)为使开偶次方后不出现符号错误，第一步 B.负数的n次方根是负数 先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值 C.0的n次方根是0（其中n>1,且n∈N°） 符号化简，化简时要结合条件或分类讨论 D.a的n次方根是a (2)给出下列结论： 【例题2】(1)化简下列各式。 ①若a为实数，则a的偶次方根一定有两个： ①V√(-2)：②(2-π)5： ②任何一个实数必有奇次方根： ③V(x+1):④W(x-6) ③若√a-1有意义，则a>1. (2)设-2<x<2,求V-2+1-√+4x+4 其中正确结论的序号是 的值 【变式1】（多选）下列结论正确的是 》 A.已知a<0,n为偶数，则一a的n次方根 为W-a B.如果a>b,则a的平方根一定大于b的平 方根 C.已知√2x+I和(1一2x)都有意义，则 -<≤司 D.若a-"a对任意a恒成立，则n=4 ·76· 第四章指数函数与对数函数 【变式2】(1)化简下列各式. 【例题3】把下列分数指数幂表示为根式的形式， ①vo@,a>0.8v-u 根式表示为分数指数幂的形式（其中a>0). (1)a:(2)a;(3)Wa·a (2)若代数式√2x-I+√2一x有意义，化简 (4)(a)2·√ab. √4x-4x+1+2(x-2). 【变式3】把下列分数指数幂表示为根式的形式， 根式表示为分数指数幂的形式。 aaa>02·侣 a (1) (3)(a-b)(a>b):(4)(a-b). 探究三 根式与分数指数幂互化 规律总结 根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时， 关键是熟记根式与分数指数暴转化的两个公 式和有理效指数暴的运算性质 (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂 的途径有两条：一是由里向外化为分数指数 幂：二是由外向里化为分数指数幂. ·77 数学必修第一册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见Pa 1.W(-2)的值是 3.化简√8+43-√8-4√3 A.-2 B.±2 4.以下各式中，正确等式的序号是 C.2 D.以上都不正确 ①=7，@aa, 2.