2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章一元二次函数，方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（一） [学习目标]1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点 与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二 次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，培 养数学运算的核心素养（重点）.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培 养直观想象和逻辑推理的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一一元二次不等式的定义 要点二 二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式的关系 一般地，把只含有 未知数，并且未知 A=b-Aac 4>0 =0 △<0 数的最高次数是 的不等式，称为一元二次 不等式.一元二次不等式的一般形式是a.x2+ y=a.x2十hx+g (a>0)的图象 bx十c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为 ax+bx+c=0 两个不相等的 两个相等的 常数，a≠0. 没有实数根 (a>0)的根 实数根x1,x 实数根1z >练习：（多选）下列说法一定正确的是( ar'+br+c>0 (a>0)的解集 A.不等式a.x2+x-1<0(a为常数)是一元二 ax+bx+c<0 次不等式 (a>0)的解集 >思考：一元二次不等式a.x2十bx十c>0(a≠0) B.不等式x2一5y<0不是一元二次不等式 的解集何时为实数集R?何时为空集？ C.不等式-x2-2x+3>0是一元二次不等式 D.不等式x>0不是一元二次不等式 关键能力，素养提升 答案见P 探究一 解简单的一元二次不等式 (2)求出一元二次方程a.x2十bx十c=0(a> 0)的根，或根据判别式说明方程没有根. 规律总结 (3)根据根的情况和二次函数的图象写出不 求简单一元二次不等式解集的一般步骤 等式的解集 (1)化一元二次不等式为标准形式a.x2十 当一元二次不等式为a.x十bx+c≥0或 b.x+c>0或a.x十bx+c<0(a>0). ax十bx十c≤0时，要注意解集的端点 ·31· 数学必修第一册课堂学案 【例题1】求下列一元二次不等式的解集. 探究二解含参数的一元二次不等式 (1)x2-5.x>6: (2)4.x2-4x+1≤0： 规律总结 (3)-x2+7x>6: 解含参数的一元二次不等式与解一般的一元 (4)-x2+6.x-9>0. 二次不等式的基本思路是一致的，但要注意 分类讨论思想的应用，其讨论标准是： (1)对二次项系数进行大于零、小于零、等于 零的分类讨论： (2)当二次项系数不等于零时，再对判别式进 行大于零、小于零、等于零的分类讨论： (3)当判别式大于零时，再对两根的大小进行 讨论，最后确定出解集， 【例题2】解关于x的不等式a.x2+(1-2a)x 2>0(a∈R). 【变式1】求下列不等式的解集 (1)-2x2+3.x+2<0: (2)-2x2+x-6<0: (3)9.x2+6x+1>0: (4)x2+25≤10.x. 【变式2】解关于实数x的不等式x2一x+a<0 (a∈R). ·32· 第二章一元二次函数，方程和不等式 探究三三个“二次”之间的关系 【变式3】(1)已知不等式a.x2+3.x一2>0的解集 为{x1<x<b},则a,b的值等于 () 高考拓展 A.a=1,b=-2 B.a=2,b=-1 三个“二次”之间的关系 C.a=-1,b=2 D.a=-2,b=1 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数合 (2)已知一元二次不等式x十x十q<0的解 称为“三个·二次”，它们之间有着某种特定 集为-<<》，求不等式9r计pr十 的联系，这种联系使得我们可以对它们进行 1>0的解集。 相互联想，从多个角度来分析和思考有关的 问题.具体关系如图所示 x2+6x+r>0或<0a≠0)的解集端.点 方程ax2+hc+r=0(a≠0) 函数y=体x2+hx+e(≠0 的根 的要点 【例题3】若不等式a.x2十bx十c≥0的解集是 {女-≤2，求不等式cr+ba+a<0 的解集. 随堂检测·学以致用 答案见P 1.一元二次不等式x2一3x一4<0的解集为 3.(多选)下列不等式中解集为R的是() ( A.-x2+2.x+1>≥0B.x2-25.x+5>0 A.{.x-1<x<4} B.{.x-4<x<1 C.x2+6.x+10>0 D.2.x2-3x+4>0 C.{x1<x<4} D.{x|-4<x<-1 4.如果A={xa.x2一a.x+1<0}=0,则实数a 2.若不等式az2+8a.x十21<0的解集是{.x 的取值集合为