2.1 等式性质与不等式性质-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 [学习目标]L,梳理等式的性质，理解不等式的概念，培养数学抽象的核心素养，2.掌握不等式的性质，发展逻 辑推理和数学运算的核心素养（重点）， 必备知识·基础落实 答案见P 要点一不等关系与不等式 2.不等式的基本性质 1.用数学符号“ 44 (1)对称性：a>b台 “ ”连接两个数或两个代数式，以表示它们 (2)传递性：a>b,b>→ 之间的不等关系。 (3)可加性：a>b→ 2.含有 的式子，叫做不等式 (4)可乘性：a>b,c>0→ i4>b.c< 3.a≥b即为 :a≤b即为 0→ (5)加法法则：a>b,c>→ 要点二 实数的大小比较 (6)乘法法则：a>b>0,c>d>0→ 实数的大小比较常用作差法，其理论依据是 (7)乘方法则：a>b>0→ a-b>0= =a<b:a-b=0= 辨析 要点三等式和不等式的基本性质 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” L等式的基本性质 (1)两个同向不等式可以同向相加，所以两个 (1)如果a=b,那么b=a. 同向不等式能够同向相减。 () (2)如果a=b,b=c,那么a=. (2)在利用不等式的性质时，一定要注意性质 (3)如果a=b,那么a士c=b士c. 的前提条件是否具备。 () (4)如果a=b,那么ac=bc. (3)若a≤b,b<c,则a≤c. () (5)如果a=b,c≠0，那么4=b (4)若a>b,则ac2>b2. 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 用不等式（组）表示不等关系 (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 规律总结 文字 大于、高小于，低 大于等于、 小于等于、 语言 (1)将不等关系表示成不等式（组）的思路 于、超过 于少于 至少，不低于至多、不超过 ①读懂题意，找准不等式所联系的量； 符号 ②用适当的不等号连接： 语言 ③多个不等关系用不等式组表示 ·22· 第二章一元二次函数，方程和不等式 (3)利用不等式表示不等关系时应注意的两点 探究二用作差法比较大小 ①必须是具有相同性质、可以比较大小的两 规律总结 个量才可用不等式来表示，没有可比性的两 个量之间不能用不等式来表示 作差法比较两个实数（代数式）大小的步骤 ②在用不等式表示实际问题时，一定要注意 第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差 单位统一， 的符号，变形有两种情形：①将差式进行因式 分解转化为几个因式相乘：②将差式通过配 【例题1】下列说法正确的是 方转化为几个非负数之和，然后判断。 A.某人月收入x不高于2000元可表示为 第二步：判断差值与零的大小关系 “x<2000 第三步：得出结论 B.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【例题2】已知x<-1,比较x3+1与-2.x2一2x C.某变量x至少为a可表示为“x>a” 的大小 D.小明的身高为xcm,小华的身高为ycm, 则小明比小华矮可表示为“x>y” 【变式1】有粮食和石油两种物资，可用轮船和飞 机两种方式运输，每天每艘轮船可运输粮食 300t,石油250t,每架飞机可运输粮食150t, 石油100t.现在要在一天内至少运输2000t 粮食和1500t石油.写出安排轮船艘数和飞 【变式2】已知x∈R,m∈R,比较x2+x+1与 机架数所满足的所有不等关系的不等式组. 2m2+2m.x的大小. 444444444444444+444444444444444 23 数学必修第一册课堂学案 探究三利用不等式的性质证明简单不等式 【变式3】判断下列命题是否成立.若不成立，适 当增加条件使下列命题成立. 误区防错 (1)若a>b,则a≤bc: (2)若ac2>bc2,则a2>, 利用不等式的性质证明简单不等式 的方法及注意点 3若a>6.c>d.则号>名. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利 用不等式的性质，通过对不等式变形得证 (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况， 直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将 不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件 确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法 则判断最终的符号，完成证明 (3)注意点：①记准，记熟不等式的基本性质： ②注意不等式成立的条件，切不可省略条件或 跳步推导，更不能随意构造性质与法则：③为 了说明关于不等式的结论不成立，特殊值法 也是非常有效的方法。 【例题3】判断下列命题是否正确，并说明理由. 【例题4】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证： (1)若ac2>b2,则a>b: e (2②若a<0.则2>号： a-c)>(b-d0 (3若>6<dcd≠0，则>治： 4若a<0,则后> 24 第二章一元二次函数，方程和不等式 【变式4】已知u>b>0,e>f,c>0,求