1.5 全称量词与存在量词-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词 [学习目标]1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，强化数学抽象的核心素养.2.能正确使 用存在量词对全称量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养（易混点）.3能正确使用全称量词对存在量词 命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养（易混点） 必备知识·基础落实 答案见P 要点一全称量词与全称量词命题 (2)符号表示：存在量词命题“存在M中的元 1.全称量词 素x,p(x)成立”可用符号简记为 短语“ n ”在逻辑中通常 要点三 全称量词命题和存在量词命题的否定 叫做全称量词，并用符号“ ”表示.常见 的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。 定 Vx∈Hp 表述 2.全称量词命题 (1)定义：含有 的命题，叫做全称 量词命题. 中定 xEM.p(x) (2)符号表示：全称量词命题“对M中任意一 个x,p(x)成立”可用符号简记为 辨析 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 要点二存在量词与存在量词命题 (1)一个全称量词命题只能有一个变量 1.存在量词 短语“ ”在逻辑中 (2)不含有全称量词的命题一定是存在量词 叫做存在量词，并用符号“ ”表示.常见 命题 () 的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有 (3)一个存在量词命题可以包含多个变量. 的”等。 2.存在量词命题 (4)全称量词命题和存在量词命题的否定只需 (1)定义：含有 的命题，叫做存在量 否定结论即可. 词命题 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 全称量词命题与存在量词命题的辨 (2)判断全称量词命题“Hx∈M,p(x)”是真 析及真假判断 命题，需要对集合M中每个元素x,证明 p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 规律总结 x,使p(x)不成立，那么这个全称量词命题就 (1)有些全称量词命题和存在量词命题没有 是假命题， (3)判断存在量词命题“3x∈M,p(x)”是真命 定义中的量词，需要自己“翻译”，发现其中的 题，只需在集合M中找到一个元素x,使(x) 量词，才可以判断其是全称量词命题还是存 成立即可：如果在集合M中，使p(x)成立的元 在量词命题，进而再判断其真假 素不存在，那么这个存在量词命题是假命题， ·17 数学必修第一册课堂学案 【例题1】指出下列命题是全称量词命题还是存 探究二全称量词命题和存在量词命题的否定 在量词命题，并判断它们的真假。 (1)x∈N,2x十1是奇数： 规律总结 (2)存在-个x∈R,使，=0： (1)一般地，写出全称量词命题和存在量词命 (3)存在一组m,n的值，使m一n=1: 题的否定，首先要明确这个命题是全称量词 (4)至少有一个集合A,满足A1,2,3}: 命题还是存在量词命题，并找到其量词的位 (5)对任意实数x,有3x+2>0. 置及相应结论，然后把命题中的全称量词改 成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否 定结论 (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐 含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据 规则来写出命题的否定. (3)全称（存在）量词命题和它的否定不能同 时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真 一假 【例题2】写出下列命题的否定，并判断其真假， (1)每一个素数都是奇数： (2)任意偶数的平方还是偶数： (3)有些实数的绝对值是正数： (4)某些平行四边形是菱形 【变式1】指出下列命题是全称量词命题还是存 在量词命题，并判断其真假， (1)Vx∈R,x2+2>0: (2)Hx∈N,x≥1： (3)3x∈R,.x<1. 18 第一章集合与常用逻辑用语 【变式2】写出下列命题的否定，并判断其真假. 【例题3】已知函数f(.x)=x2-2.x+5. Dyx∈Rr-x+}≥0， (1)是否存在实数m,使不等式m十f(.x)>0 对于任意x∈R恒成立，并说明理由： (2)所有的正方形都是矩形： (2)若至少存在一个实数x,使不等式m (3)3x∈R,x2+2x+80: f(x)>0成立，求实数m的取值范围。 (4)至少有一个实数x,使x3+1=0. 44444444444404444444444444444444444444444444444444 探究三 全称量词命题和存在量词命题中的 【变式3】已知命题“对于任意x∈R,x2+a.x十 参数问题 1≥0”是假命题，求实数a的取值范围. 4444 解题技巧 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (I)对于全称量词命题“Hx∈M,a>y(或a< y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问 题，通常转化为求函教y的最大值（或最小 值)，即a>ya(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“3x∈Ma>y(或a< y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问 题，通常转化为求函数y