2.5 角平分线的性质课件2023-2024学年 数学青岛版八年级上册

第2章 圆形的轴对称 2.5 角平分线的性质 知识回顾 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 O B C A 1 2 符号语言： ∵射线OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。 O P A B 垂线段PO的长度 （1）圆可以看做是 的集合. 3.学过的集合定义： （2）线段垂直平分线可以看做是 的集合. 到定点距离等于定长的所有点 到线段两端点的距离相等的所有点 实验与探究 在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD。你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ B A D 活动一：探究角的轴对称性 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由。 结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 活动二：探索角平分线的第一个性质 C B M A P N D 已知：AD是∠BAC的角平分线，点P是AD上任意一点， PM⊥AB，PN⊥AC。求证：PM=PN C B M A P N D 1 2 证明：∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2 ∵PM⊥AB PN⊥AC ∴ ∠ AMP=∠ANP=90º 在△AMP与△ANP中 ∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN 角平分线的性质1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 C B M A P N D 应用所具备的条件： （1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； （3）PM⊥AB PN⊥AC 作用：判断线段相等的依据. 符号语言： ∵AD平分∠BAC，PM⊥AB ，PN⊥AC ∴PM=PN 练习一 判断正误，并说明理由： 1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE . ( ) 2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PE=PF. ( ) （1题） （2题） × × 3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA 的距离为3cm， 则P到OB的距离边为3cm.( ) （3题） √ 活动三：探索角平分线的第二个性质 如图，已知∠BAC，经过∠BAC内部任意作直线l1//AB，作直线l2//AC，使l2与AC之间的距离等于l1与AB之间的距离，记l1 , l2的交点为P.则P是∠BAC内部一个到∠BAC的两边AB，AC距离相等的点.作直线AP.如果将∠BAC沿AP对折.你发现∠BAP与∠CAP重合吗?由此你能得到什么结论? 角平分线的性质2 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ∠BAP =∠CAP点. P在∠BAC的平分线上。 练习二 解：相等 证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB, PE=PF ∴ OP为∠AOB的平分线,（角平分线的性质2） ∵ QM⊥OA，QN⊥OB ∴ QM=QN（角平分线的性质1) 练习二：如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA， QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？ 已知：∠BAC 求作：∠BAC 的平分线。 活动四: 用尺规作角的平分线 A B C 要作出∠BAC的平分线，只要设法确定角平分线上的一点P的位置就可以。为此，可以用圆规在角的两边分别截出以A为公共端点的两条相等的线段，然后再分别以这两条线段的另一个端点为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧的交点便是所要确定的点P。 作法: ①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交这个角的两边于E，F两点； ③作射线AP 射线AP就是所求作的∠BAC的平分线. ②分别以点E，F为圆心，以大于EF一半的长为半径作弧，两弧交