2.4 线段的垂直平分线课件2023-2024学年 数学青岛版八年级上册

第2章 圆形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线（1） 实验与探究 (1)在纸上作一条线段AB(图①)，通过对折使端点 A 与端点 B 重合。将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN，直线 MN与线段AB的交点为 O (图②) 。你有什么发现? MN⊥AB，垂足为点O。AO=OB. 线段是轴对称图形。它的一条对称轴垂直平分这条线段。 垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 (2)如图②，MN是线段AB的垂直平分线，在MN上任意取一点P，则点P可能有两种情况：当P恰是MN与线段AB的交点时，由MN平分AB可知PA=PB；当P不在线段AB上时，连接PA与PB(图③)。把这张纸再沿直线MN对折，PA与PB重合吗？为什么？由此你能得到什么结论? ③ M N O P A B · 将线段AB沿直线MN对折，因为MN是线段AB的对称轴，A，B是对应点。故对折后点A与点B重合。由于点P在对称轴MN上，对折后点P与它自身重合，于是PA与PB重合，所以PA= PB. 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. (3)反过来，到线段两端距离相等的点是否都在线段的垂直平分线上?当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知P是AB的中点，此时点P在线段AB的垂直平分线上。当点P在线段AB外时，如果PA = PB，你能说明点P在线段AB的垂直平分线上吗? 设线段AB的中点为O，连接PO，由SSS可知△POA≌△POB，因为∠AOP +∠BOP =180°，∠AOP=∠BOP，所以∠AOP =90°，即PO⊥AB，所以PO就是线段AB的垂直平分线，这就是说，点P在线段AB的垂直平分线上。 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 (4)已知线段AB 你能根据(3)中的结论，用尺规作出线段AB的垂直平分线吗?与同学交流。 (1)分别以点A与点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧, 两弧分别交于M，N两点; (2)过M，N两点作直线MN。 直线MN就是线段AB的垂直平分线① ①用尺规作一条线段的垂直平分线，属于基本作图。 1.已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O， 连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 当堂练习 2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC, AD=BD，AB与CD相交于点O。 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O ∴AO=BO. 3.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm C 15 解析: ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 又∵在△BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， ∴BE+CE=10cm. ∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C. 第2章 圆形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线（2） 回顾与整理 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 性质2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 实验与探究 利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能把作图的范围再推广到“过一个点作已知直线的垂线”吗? 由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论。 (1)已知直线l和l上一点P。怎样过点P作直线l的垂线? 先在直线l上作出以点P为中点的一条线段AB，再利用上面学过的基本作图，作线段AB的垂直平分线，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。 作 法 ①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B; ②作线段AB的垂直平分线CD（如图） 直线CD就是过点P的直线l的垂线 · A B P C D l (2)已知直线l和l外一点P。怎样经过点P，作直线l的垂线? 也要设法先在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等。再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。 作 法 ①任意取一点K，使点K和点P分别在直线l的两侧: