21.2 解一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）

21.2 解一元二次方程 【知识梳理】 知识点一 直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 知识点二 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 知识点三 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 知识点四 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ⑴如果方程有两个实数根，，那么，． ⑵涉及两根的代数式的重要变形： ①； ②； ③； ④ 知识点六 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 【题型探究】 题型一、配方法解一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知方程可以配方成，则（     ） A．1 B．－1 C．0 D．4 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型二、直接开平方法解一元二次方程 4．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（    ） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 5．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 7．直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（   ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 8．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 9．已知关于的一元二次方程． （1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由； （2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围． 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 10．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C．且 D． 11．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 题型五、公式法解一元二次方程 13．方程的根是（    ） A． B． C． D． 1