3.2 勾股定理的逆定理 课件2023-2024学年苏科版数学八年级上册

3 . 2 勾股定理的逆定理 回顾旧知 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2＋b2＝c2 3 . 2 勾股定理的逆定理 我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗? 3 . 2 勾股定理的逆定理 如图 3－7(1)，在△ABC中，a2＋b2＝c2，△ABC 是否为直角三角形? 3 . 2 勾股定理的逆定理 可以用如下方法证明△ABC 是直角三角形： 画Rt△A′B′C′，使∠C ＝90，BC′＝a，AC′＝b (如图3－7(2)). 3 . 2 勾股定理的逆定理 根据勾股定理，可得AB2 ＝a2＋b2 因为 AB2＝a2＋b2， 所以 A′B′2 ＝AB2，A′B′＝ AB. 根据“SSS”，可证△ABC≌△A′B′C′. 于是，∠C＝∠C′＝90°， △ABC 是直角三角形. 3 . 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足关系 a2＋b2＝c2 的3个正整数 a、b、c 称为勾股数. 3 . 2 勾股定理的逆定理 练 1 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 . 3 . 2 勾股定理的逆定理 判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法： 1. 如果已知条件与角度有关，那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角； 2. 如果已知条件与边有关，一般利用勾股定理的逆定理，通过计算得出三边的数量关系，判断三角形的形状. 解法提醒: 3 . 2 勾股定理的逆定理 (1) 在△ABC 中，∠A＝25°，∠C＝65°； 解：在△ABC 中， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∠A＝25°，∠C＝65°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴ △ABC 是直角三角形. 3 . 2 勾股定理的逆定理 (2) 在△ABC 中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； 解：在△ABC 中， ∵ AC2＋BC2＝122＋162 ＝202＝AB2， ∴ △ ABC 是直角三角形. 3 . 2 勾股定理的逆定理 (3) 一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a∶b∶c ＝ 3∶4∶5 . 解：设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. ∵ (3x)2＋ (4x)2＝ (5x)2， 即 a2＋b2＝c2， ∴ △ABC 是直角三角形. 3 . 2 勾股定理的逆定理 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3) “判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角 形，否则不是. 3 . 2 勾股定理的逆定理 练 2 已知 a、b、c 为△ABC 的三边长，且满足： a2c2－b2c2＝a4－b4， 试判断△ABC 的形状. 解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4， ∴ c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2+b2), 即(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0. 3 . 2 勾股定理的逆定理 易错提醒： 两个因式的积为0，则有一个因式为0 和两个因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑是否为直角三角形，还要考虑是否为等腰三角形. 本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0 的数，从而导致了错误. 3 . 2 勾股定理的逆定理 (1) 当a2－b2 ≠ 0 时，则有c2＝a2＋b2. ∴△ABC 是直角三角形. (2)当a2－b2＝0，即a＝b 时，若a2＋b2－c2≠0，则△ABC 是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直 角三角形. 综上所