专题04 空间直角坐标系及空间运算的坐标表示8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题04 空间直角坐标系及空间运算的坐标表示8种常见考法归类 1．空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 x轴、y轴、z轴 坐标原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 2.空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中A点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z) 3．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 4.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？ [提示]　当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立． 5．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； (2)dAB＝||＝. 6．空间直角坐标系的作图要求 (1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴． (2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半． (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直． 7．构建空间直角坐标系的策略 坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系． 抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)是我们构建空间直角坐标系时的重要依据．常见的建系策略有： (1)利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系； (2)利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系； (3)利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系． 8．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系 在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系． ①过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)． ②反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A． 9．坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0) y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z) z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) 注：空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标． 10．求对称点的坐标的解题策略 (1)求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐