1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 作者：Lydia Bee 目录 01 02 03 空间中点、直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 空间中直线、平面的垂直 研究方法——向量法 研究直线、平面的位置关系 PART ONE 线线平行：直线 的方向向量分别为 ，则 线面平行：直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ，则 面面平行：平面 的法向量为 ，则 空间中直线、平面的平行 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 已知：如图, ,求证: 典例分析 解：取平面 的法向量为 ,直线 的方向向量为 所以对任意点 ,存在 ,使得 从而 所以，向量 也是平面 的法向量，故 例3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1? 典例分析 解：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D1xyz，如图所示，则A(3,0,0),C(0,4,0), D1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(4,3,2), ,设平面ACD1的一个法向量为 ,则 例3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1? 典例分析 假设点P在线段B1C上，满足 所以 令 ,解的 ,这样的点P存在，所以，当 ,即P为B1C的中点时，A1P//平面ACD1. 线线垂直：直线 的方向向量分别为 ，则 线面垂直：直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ，则 面面平行：平面 的法向量为 ，则 空间中直线、平面的垂直 例4 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=600,求证：直线A1C⊥平面BDD1 B1? 典例分析 所以, 是平面BDD1B1的法向量，所以A1C⊥平面BDD1B1. 例4 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1, ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=600,求证：直线A1C⊥平面BDD1 B1? 典例分析 证明：设 ,则 为空间的一个基底,且 ,因为AB=AD=AA1 =1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=600，所以 ,在平面BDD1B1上取 ,为基向 量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对 ,使得 例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 已知：如图, ,求证: 典例分析 解：取直线 的方向向量 ，平面 的法向量为 因为 ，所以 是平面 的法向量 因为 ，而 是平面 的法向量，所以 所以 课堂练习 课本第31页1,2,3题 课本第33页1,2,3题 课堂小结 解决立体几何位置问题的方法有：基底法和坐标法。 用空间向量解决位置问题的三步曲： (1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把距离问题转化为向量问题。 课堂小结 (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系及其他们在之间的距离。 (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 课堂小结 平行有： 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 垂直有： THANKS 作者：Lydia Bee $