1.4 两条直线的交点（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.4 两条直线的交点 一、直线的交点 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一 求两条直线的交点 【例1】（2022秋·高二校考课时练习）直线与直线的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）若直线与直线相交，则交点的坐标为 . 【变式1-2】（2022秋·福建福州·高二校考期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 . 【变式1-3】（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）直线过两直线：和：的交点，且与直线：平行，求直线的方程． 题型二 由方程组的解判断直线位置 【例2】（2022·高二课时练习）（多选）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（ ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 【变式2-1】（2022·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式2-2】（2022·高二课时练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 题型三 由直线的交点求参数 【例3】（2023秋·高二课时练习）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【变式3-1】（2023春·江西·高二江西省清江中学校考期末）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·高二课时练习）两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（ ） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知线段AB的两端点分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是 ． 题型四 多条直线共点问题 【例4】（2022·高二课时练习）若三直线：，：，：经过同一个点，则 【变式4-1】（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）直线和交于一点，则m的值为 . 【变式4-2】（2022秋·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ． 题型五 直线交点系方程及应用 【例5】（2022·高二课时练习）（多选）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（ ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 【变式5-1】（2022秋·高二课时练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习