第01讲 平面向量的概念及线性运算（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第五章《平面向量与解三角形》 第01讲　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|， 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 一．平面向量的概念 例1．（1）下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 （3）设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 （4）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是（     ） A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| （5）(多选)下列命题正确的有(　　) A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形” 【复习指导】：平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 二．平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例2．（1）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| （2） 为非零向量，且，则（     ） A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反 C． D．无论什么关系均可 （3）在四边形ABCD中，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． （4）在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（     ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 （5）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（     ） A．以为底边的等腰三角形 B．以为底边的等腰三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．以为斜边的直角三角形 （6）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（     ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【复习指导】：求已知向量的和或差：①共起点的向量求和用平行四边形法则；②求差用向量减法的几何意义；③求首尾相连向量的和用三角形法则． 命题点2　向量的线性运算 例3．（1）设为所在平面内一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． （2）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【复习指导】：向量的运算有两种方法： 一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）； 二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． （3）衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其