第04讲 解三角形（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第04讲　解三角形 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 3．常用推论 sinA= sin(B+C) cosA= - cos(B+C) tanA= - tan(B+C) sinB= sin(A+C) cosB= - cos(A+C) tanB= - tan(A+C) sinC= sin(A+B) cosC= - cos(A+B) tanC= - tan(A+B) 一．利用正弦、余弦定理解三角形 例1．（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（     ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° （2）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（     ） A． B． C． D． （3）在中，, BC=1, AC=5，则AB=（ ） A． B． C． D． （4）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则（ ） A． B． C． D． 【复习指导】：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. （5）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=_____________. （6）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________． 【复习指导】：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 二．正弦定理、余弦定理的应用 命题点1　判断三角形的形状 例2．（1）在中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【复习指导】：判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、 等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等. 利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. (3)如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角； (4)如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负. 而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说. （2）已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 （3）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三