第02讲 平面向量基本定理及坐标表示（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 一．平面向量基本定理的应用 例1．（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（ ） A． B． C． D． （2）如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（       ） A． B． C． D． （3）设中边上的中线为，点满足，则（     ） A． B． C． D． （4）等腰直角三角形ABC中，，是斜边BC上一点，且，则=（     ） A． B． C． D． （5）如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点. ①用向量，表示； ②假设，用向量，表示并求出的值. 【复习指导】：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 二．平面向量的坐标运算 例2．（1）已知向量，满足，，，则（     ） A．－1 B．0 C．1 D．2 （2）已知点，，则与方向相反的单位向量是（     ） A． B． C． D． （3）在中，，，，为中点，为的内心，且，则（     ） A． B． C． D． （4）（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． （5）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为_______________． （6）已知向量，向量的起点为，终点在坐标轴上，则点的坐标为___________. 【复习指导】：向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． 三．向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求参数 例3．（1）设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 （2）已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（     ） A． B． C． D． （3）已知，，，且相异三点、、共线，则实数________. （4）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． （5）已知，向量，，且，则θ＝______________． 【复习指导】：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”． (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标 例4．（1）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． （2）已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（     ） A． B． C． D． （3）已知点，若向量与=同向， =，则点的坐标为________. （4）已知，若P在的长线上，且，则点P的坐标为______． （5）在△ABC中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________． 1．已知平面向量，不共线，，，，则（     ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 2．在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（     ） A． B． C． D． 3．过的中线的中点作