第06讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第06讲　函数y＝Asin(ωx＋φ) 1．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 一．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1．（1）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 【复习指导】：先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法． （2）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（     ） A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 【复习指导】：对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位． （3）已知锐角满足．若要得到函数的图象，则可以将函数的图象（     ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 （4）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，则需要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 （5）为得到函数的图象，只需把函数的图像（     ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 （6）将函数的图象沿着x轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的一个可能取值为（     ） A． B． C． D． 【复习指导】：(1)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减． (3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化. 二．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2．（1）函数其中，的图象的一部分如图所示，，要想得到的图象，只需将的图象（     ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移2个单位长度 【复习指导】：若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. (3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入． ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. “五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. （2）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（     ） A． B． C． D． （3）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（     ） A． B．， C．， D． ， （4）(多选)函数的部分图象如图所示，则（     ）