第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第四章《三角函数》 第01讲　任意角和弧度制、三角函数的概念 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αr 扇形面积公式 S＝lr＝αr2 3．任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，取它的终边上一点P(x，y)，设点P到原点O的距离|OP|= r， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号图示： 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 一．角及其表示 例1．（1）下列命题中正确命题的个数是（     ） ①第二象限角大于第一象限角， ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角 ③若，则与的终边相同 ④若，则是第二或第三象限的角. A．0 B．1 C．2 D．3 （2）设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么（     ） A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅ （3）终边在直线上，且在内的角的集合为__________. （4）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=_____． 【复习指导】：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． （5）若是第一象限角，问，，是第几象限角？ 【复习指导】:确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 (1)不等式法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． (2)几何法（针对和）：如已知是第二象限角，求所在象限。先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．若求，则每个象限分成3等份，同理标上一、二、三、四，故为第一、二或第四象限角。 （6）如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合. 【复习指导】：表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 二．弧度制及其应用 例2．（1）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 （2）《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（     ） A． B． C． D． （3）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（     ） A． B． C．1 D．2 （4）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. ①若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； ②已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； ③若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【复习指导】：应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 三．三角函数的概念 例3．（1）若，且，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 （2）若是第四象限角，则点在第（     ）象限. A．第四象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 （3）已知角的终边过点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． （4）已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是（     ） A．(－2