第一章 直线与方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与方程（知识归纳+题型突破） 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式． 4．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系． 5．会利用直线的点斜式方程与斜截式解决有关问题． 6．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式． 7．了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 8．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 9．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． 10．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 11．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 12．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 13．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 14．探索并掌握平面上两点间的距离公式． 1．直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线l的斜率公式是k＝(x1≠x2)． (1)斜率公式不适用于直线与x轴垂直(x1＝x2)的情况，在使用斜率公式时，若两点的横坐标含有参数，则要注意分类讨论． (2)直线l上P，Q两点的选取是任意的，即P，Q无论怎样选取都不会影响斜率k的最终结果． (3)P，Q两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝． (4)若y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，斜率k＝0． 2．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0．因此，直线的倾斜角α的取值范围为{α|0≤α＜π} 3．直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 4．直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P1(x1，y1)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y1＝k(x－x1) 适用条件 斜率存在 (1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x1，y1)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程． (2)方程y－y1＝k(x－x1)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x1，y1)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y1＝k(x－x1)表示恒过定点(x1，y1)的无数条直线． 5．直线的斜截式方程 1．直线l的截距的定义 (1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． (2)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距． 6．直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 7．直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 8．直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适应条件 斜率存在且不为零，不过原点 对直线的截距式方程的理解及应用 (1)直线的截距式方程是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点． (2)利用直线的截距式方程的前提条件是a≠0且b≠0(即ab≠0)，即当直线经过原点或与坐标轴垂直时，则不可用截距式表示． 9．直线的一般式方程 (1)概念 关于x和y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． (2)几何意义 ①当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线． ②当B＝0，A≠0时，方程Ax