第06讲 数列中的恒成立和存在性问题-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第06讲 数列中的恒成立和存在性问题 考法呈现 考法一：数列中的恒成立问题 满分秘籍 数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。 例题分析 【例1-1】恒成立与分组求和 已知数列的前项和为，点在曲线上. (1)证明：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和满足对一切正整数恒成立，求实数的值. 【例1-2】恒成立与裂项相消求和 已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围. 【例1-3】恒成立与错位相减求和 已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例1-4】恒成立与数列的函数特性 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由． 已知数列{an}为等比数列，，，数列{bn}的首项，其前n项和为Sn，　 　，是否存在，使得对任意，恒成立？ 变式训练 【变式1-1】在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 设数列的前项和为，满足________，． (1)求数列的通项公式； (2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值． 【变式1-2】在数列中，，其中． (1)证明数列是等差数列，并写出证明过程； (2)设，数列的前项和为，求； (3)对，使得恒成立，求实数的最小值． 【变式1-3】已知数列的前项和为，，，. (1)求，及的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值. 【变式1-4】已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-5】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数． (1)设，求数列的通项公式； (2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由． 考法二：数列中的存在性问题 例题分析 【例2】已知：正整数列各项均不相同，，数列的通项公式 (1)若，写出一个满足题意的正整数列的前5项： (2)若，求数列的通项公式； (3)证明若，都有，是否存在不同的正整数，j，使得，为大于1的整数，其中. 满分秘籍 数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。 变式训练 【变式2-1】记为正数列的前项和，已知是等差数列. (1)求； (2)求最小的正整数，使得存在数列，. 【变式2-2】已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【变式2-3】已知数列{an}是正项等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn＝1． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由． 【变式2-4】已知数列满足，，数列满足，. （1）数列，的通项公式； （2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值. 真题专练 1．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 2．已知数列的前n项和为，，且． (1)求数列的通项； (2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 3．已知数列的前项和为，当时，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值. 4．在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．已知等比数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (3)记，求证：. 6．已知函数 的图像在点处的切线与直线垂直． (1)满足的关系式； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 7．已知数列中， (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，数