第05讲 错位相减法求数列前n项和-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第05讲 错位相减法求数列前n项和 例题分析 【例 1】1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 满分秘籍 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． ②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 变式训练 【变式1-1】已知数列的前项和为，且. (1)求，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1-2】已知数列和，，，. (1)求证数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式1-3】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式1-4】记正项数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且，数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式1-5】设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 真题专练 1．已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列.. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 3．已知数列的首项为1，前项和； (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 5．已知数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是，若对满足的任意正整数，，均有成立． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 6．已知数列的前项的和为，，数列为单调递增的等比数列，且有，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，设的前项的和为，求的值. 7．已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 8．已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和. 9．在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 已知数列的前n项和为，且______． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分． 10．已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列． (1)证明： (2)求数列的前n项和． 11．设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，求数列的通项公式． 12．已知等比数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 13．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 15．已知数列和等差数列满足，且当时，. (1)求数列的通项； (2)求数列的前项和. 16．已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列第1，3，5项． (1)求数列和的通项公式； (2)若求数列{}的前n项和． 17．已知数列的前项和为，请从以下三个条件中选择一个完成解答. ①数列是首项为2的单调递减的等比数列，且成等差数列； ②； ③. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 18．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19．设各项都为正数的数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设函数，且，求数列的前n项和． 20．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 错位相减法求数列前n项和 例题分析 【例 1】1．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时