2.1 直线的倾斜角与斜率（含2课时）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、逻辑推理、度量计算等丰富研究几何图形中的形状、大小、位置关系。 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。为了要精准地研究这些比较复杂的曲线，导致了解析几何的出现。 解析几何的思想与方法： 点 数 曲线 方程 坐标系 几何问题 代数问题 转 化 (坐标) 笛卡儿 费马 直线 圆 椭圆 抛物线 双曲线 坐标系 2.1.1 倾斜角与斜率 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 问题1：如何确定一条直线的位置？ 两点可确定一条直线 一点和一个方向可确定一条直线 问题2：过一点可作无数条直线，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？ 方向不同 问题3：用什么量刻画这些直线的方向？ ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。 1.直线的倾斜角 ②范围：0°≤α<180° 当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0° ③方向相同的直线，倾斜角相同 问题4：因为两点可确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，直线l的倾斜角α与P1，P2两点的坐标有什么联系？ 2.1直线的斜率——倾斜角的正切值 把一条直线的倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，常用k表示. α的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 直线的倾斜角越大，斜率越大( ) α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 2.2直线的斜率——两点坐标 基础练习——倾斜角与斜率的关系 基础练习——倾斜角与斜率的关系 4.(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° BC 例题讲解——求斜率或倾斜角的范围 例1.已知两点A(-3,4)，B(3,2)，直线l经过点P(2,-1) ，且与线段AB相交，则 l的斜率k的取值范围是________________． [变式1]直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0,)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率k和倾斜角α的取值范围． 例题讲解——求斜率或倾斜角的范围 例2.(1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (4)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 知α求k或知k求α： 利用y=tan x的图象 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》 问题1：对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 已知两条不重合的直线l1,l2，则“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的_________条件 必要不充分 1.两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2， 可用斜率相等证三点共线. 练习1.若三点A(2,1)，B(﹣2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m的值为______． 问题2：对于两条直线l1与l2，其方向向量分别为与，斜率分别为k1，k2，若l1⊥l2，与之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 2.两条直线垂直的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2， [例1]已知直线l1过点A(3,a)，B(a－2,3)，直线l2过点C(2,3)，D(﹣1,a－2)， 若l1⊥l2，求实数a的值. 2.两条直线垂直的判定 练习2.已知定点A(-1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点P，则交点P的坐标是　　　　　.  题型点拨——用斜率关系判断直线的位置关系或形状 先画图预判 再用斜率验证 例2.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 例4.已知A(一6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,—6),试判断直线AB与PQ的位置关系. 例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3)