专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.5 直线与双曲线的位置关系【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 2 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 2 【题型3 双曲线的弦长问题】 3 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 4 【题型5 双曲线中的面积问题】 4 【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 6 【题型7 双曲线中的最值问题】 7 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（2022·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（2023·高二课时练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-2】（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（    ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线与双曲线的交点情况是（    ） A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点 C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南·统考模拟预测）若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·高二课时练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 弦长与“中点弦问题”】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（2022·全国·高二专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（    ） A．2 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2022·全国·高二假期作业）过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（    ） A． B． C．10 D． 【变式3-3】（2022·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐