专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 曲线方程与双曲线】 1 【题型2 利用双曲线的定义解题】 2 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 3 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 3 【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 5 【题型6 双曲线的渐近线方程】 6 【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 6 【题型8 双曲线中的最值问题】 7 【题型9 双曲线的实际应用问题】 7 【知识点1 双曲线的标准方程】 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 【题型1 曲线方程与双曲线】 【例1】（2023·高二课时练习）当时，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）“”是“为双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【变式1-3】（2022·高二课时练习）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 【题型2 利用双曲线的定义解题】 【例2】（2023秋·江苏常州·高二校考期末）双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【变式2-2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（2023秋·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点，，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 双曲线的简单几何性质】 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b