专题01 相似三角形重要模型-（双）A字型与（双）8字型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 相似三角形重要模型--（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 　 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．(1)若，求线段AD的长．(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 例2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：． 例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 例5. （2022•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值． 模型2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4. 例1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______． 例2.（2022·广西·中考模拟）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE． 例3.（2023·浙江九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O． (1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______； (2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边． ①如图2，当与重合时，连接，若，求的长； ②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：． 模型3. “AX”字模型（“A8”模型） 【模型解读与图示】 图1 图2 图3 1）一“A”一“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE