第三章函数的概念与性质综合提升讲义——2023年暑期初升高数学衔接教材

试卷索引号：202301A02002 2023年预高一 全章综合提升 试卷索引号：202301A02002 知识点一 函数的值域 例题讲解——————————————————————————————————————— 【例1】求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝x＋4； (4)y＝(x＞1) （1）y3，则y≠3， 即函数的值域为{y|y≠3}； （2）y， ∵2（x﹣1）2+1≥1，∴∈（0，5]，即函数的值域为（0，5]； （3）由1﹣x≥0得x≤1，则函数的定义域为（﹣∞，1]， 设t，则x＝1﹣t2，t≥0， 则y＝x+41﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+5， ∵t≥0，∴y≤5，即函数的值域为（﹣∞，5] （4）yx﹣12， ∵x＞1，∴x﹣1＞0， 则y＝x﹣12≥2+22+2＝4， 当且仅当x﹣1，解集x﹣1＝1，x＝2时，取等号， 故函数的值域为[4，+∞）． 【例2】已知函数． (1)求函数的值域； (2)已知a为实数，函数的最大值为，求． （1）由， ， ∵ ∴， ∴， ∵恒大于0， ∴的值域为； （2）， 令，则，即， 则． ①当时，在上单调递增，； ②当时，开口向上，对称轴为， 在上单调递增，； ③当a<0时，当，即时，在上单调递减， 故， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 当，即时，在上单调递增， 故. 综上所述：. 针对训练——————————————————————————————————————— 1. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的是（ ） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 2. 已知函数，（），则它的值域为（ ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 3. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 4. （2022·东北师范大学附属中学）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点二 函数的单调性与函数的最大（小）值 例题讲解——————————————————————————————————————— 【例1】设函数． (1)证明：函数在上单调递减； (2)求函数的值域． （1）对任意的，，且， ∵， ∴， ∴， 即： ∴函数在上单调递减． （2） ∴的定义域为， 令，则， ①当时，在单调递减，又∵， 所以的值域为； ②当时，，所以在单调递减，又∵， 所以的值域为； ③当时，，所以在单调递减，在单调递增， ， 所以的值域为． 所以，综上可得： 当时，的值域为； 当时，的值域为． 【例2】已知函数的图象经过点A（1，1），． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明； （1）由 f(x)的图象过A、B，则，解得． ∴. （2）证明：设任意x1，x2∈，且x1<x2． ∴ . 由x1，x2∈，得x1x2>0，x1x2+2>0． 由x1<x2，得． ∴，即． ∴函数在上为减函数． 针对训练——————————————————————————————————————— 1. 下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ） A． B． C． D． 2. 已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ） A．1 B．0 C． D．2 3. 函数f(x)＝x＋，x∈[1，2]（ ） A．有最大值5，无最小值 B．有最小值4，无最大值 C．有最大值5，最小值4 D．无最大值和最小值 4. 已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5. 如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（ ） A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 6. 已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围． 7. 已知二次函数，. (1)若，写出函数的单调增区间和减区间； (2)若，求函数的最大值和最小值； (3)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围. 8. 已知函数，在上单调递增，且，求证：函数在上单调递增． 9. 已知函数具有以下性质：如果常数，那么函数在区间上是减函数，在区间上是增函数. (1)若常数，用定义证明函数在区间上的单调性； (2)已知函数，求函数的值域； (3)对于(2)中的函数和函数，若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的值.